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| Aufgabe | Sei q [mm] \in \IQ [/mm] gegeben. Untersuchen Sie die Summierbarkeit der folgenden Familien:
a) [mm] \{\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}\}_{(l,m,n) \in \IN^3}
[/mm]
b) [mm] \{\bruch{1}{(l^2 + m^2 + n^2)^{\bruch{q}{2}}}\}_{(l,m,n) \in \IN^3} [/mm] |
Hallo,
könnte mir bitte jemand einen Tipp zu a) und b) geben, wie ich ansetzen soll?
Grüsse
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei q [mm]\in \IQ[/mm] gegeben. Untersuchen Sie die Summierbarkeit
> der folgenden Familien:
>
> a) [mm]\{\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}\}_{(l,m,n) \in \IN^3}[/mm]
>
> b) [mm]\{\bruch{1}{(l^2 + m^2 + n^2)^{\bruch{q}{2}}}\}_{(l,m,n) \in \IN^3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> könnte mir bitte jemand einen Tipp zu a) und b) geben, wie
> ich ansetzen soll?
>
Hallo Alexander,
Die Summanden sind alle positiv. So eine Familie ist genau dann summierbar, wenn die Summen über alle endlichen Teilmengen beschränkt ist. Diesen Satz kannst du nun nutzen, um getrennt nach [mm] $q\le [/mm] 1$ und $1<q$ die Summierbarkeit zu untersuchen. Denke dabei an die harmonische Reihe.
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
mit meiner Lerngruppe haben wir die Aufgabe jetzt wie folgt ,,gelöst":
a)
Beweis:
Setze [mm] H_k [/mm] := [mm] \{(l, m, n) \in \IN^3 | l + m + n = k + 2\} [/mm] für k [mm] \in \IN
[/mm]
Behauptung: [mm] H_k [/mm] bilden eine Partition von [mm] \IN^3
[/mm]
Die [mm] H_k [/mm] sind offensichtlich alle paarweise verschieden. Man muss noch zeigen, dass [mm] \cup_{k \in \IN}H_k [/mm] = [mm] \IN^3
[/mm]
Hier wissen wir nicht, wie wir das zeigen sollen.
Wir brauchen diese Partition, um das große Assoziativgesetz für summierbare Familien anwenden zu können.
Desweiteren behaupten wir: [mm] |H_k| [/mm] = [mm] |H_{k-1}| [/mm] + k = [mm] \summe_{n=1}^{k}n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}k(k+1)
[/mm]
Hier wissen wir auch nicht, wie wir die rekursive Formel [mm] |H_k| [/mm] = [mm] |H_{k-1}| [/mm] + k zeigen sollen. Wenn man dies gemacht hat, ist es ganz einfach per Induktion zu zeigen, dass [mm] |H_k| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}k(k+1) [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Im Folgenden werden die obigen Behauptungen vorausgesetzt.
Sei q [mm] \in \IQ
[/mm]
Es gilt: [mm] max\{l, m, n\} \ge [/mm] 1 für alle (l, m, n) [mm] \in \IN^3
[/mm]
Für q [mm] \le [/mm] 0 gilt: [mm] \bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q} \ge [/mm] 1 für alle (l, m, n) [mm] \in \IN^3
[/mm]
Also folgt mit dem Vergleichskriterium für summierbare Familien:
Familie [mm] \{\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}\}_{(l,m,n) \in \IN^3} [/mm] nicht summierbar.
Sei nun q > 0.
Es gilt: [mm] \bruch{k}{3} [/mm] < [mm] \bruch{k+1}{3} [/mm] < [mm] \bruch{k+2}{3} \le max\{l, m, n\} \le [/mm] k [mm] \le [/mm] k+1
[mm] \gdw (\bruch{k}{3})^q [/mm] < [mm] (\bruch{k+1}{3})^q [/mm] < [mm] (\bruch{k+2}{3})^q \le (max\{l, m, n\})^q \le k^q \le (k+1)^q
[/mm]
[mm] \gdw (\bruch{3}{k})^q [/mm] > [mm] (\bruch{3}{k+1})^q [/mm] > [mm] (\bruch{3}{k+2})^q \ge (\bruch{1}{max\{l, m, n\}})^q \ge (\bruch{1}{k})^q \ge (\bruch{1}{k+1})^q
[/mm]
Diese Ungleichungen gelten für alle natürlichen Zahlen l, m, n
Jetzt können wir abschätzen:
[mm] \summe_{(l, m, n) \in \IN^3}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q} [/mm]
= [mm] \summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q} \le \summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}(\bruch{3}{k+1})^q [/mm] = [mm] \summe_{k \in \IN}\bruch{1}{2}k(k+1)(\bruch{3}{k+1})^q
[/mm]
[mm] \le \bruch{3^q}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{(k+1)^2}{(k+1)^q} [/mm] =
[mm] \bruch{3^q}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{(k+1)^{q-2}}
[/mm]
Der letzte Ausdruck ist summierbar für q-2 > 1 [mm] \gdw [/mm] q > 3 , da es sich um die verallgemeinerte harmonische Reihe multipliziert mit einer Konstanten handelt.
[mm] \Rightarrow [/mm] Familie für q > 3 summierbar.
Behauptung: Für 0 < q [mm] \le [/mm] 3 , ist die Familie nicht summierbar.
[mm] \summe_{(l, m, n) \in \IN^3}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}
[/mm]
= [mm] \summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}
[/mm]
[mm] \ge \summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}\bruch{1}{k^q}
[/mm]
= [mm] \summe_{k \in \IN}\bruch{k(k+1)}{2}\bruch{1}{k^q}
[/mm]
[mm] \ge \bruch{1}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{k^2}{k^q}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{k^{q-2}}
[/mm]
q [mm] \le [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] q - 2 [mm] \le [/mm] 1
Also ist [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{k^{q-2}} [/mm] nicht summierbar, und nach dem Vergleichskriterium, ist somit die Familie auch nicht summierbar.
Insgesamt folgt:
q > 3, dann Familie summierbar
q [mm] \le [/mm] 3, dann Familie nicht summierbar.
[mm] \Box
[/mm]
b)
Beweis:
Es gilt:
[mm] (max\{l, m, n\})^2 [/mm] = [mm] max\{l^2, m^2, n^2\} \le l^2 [/mm] + [mm] m^2 [/mm] + [mm] n^2 \le 3max\{l^2, m^2, n^2\} [/mm] = [mm] 3(max\{l, m, n\})^2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3(max\{l, m, n\})^2} \le \bruch{1}{l^2 + m^2 + n^2} \le \bruch{1}{(max\{l, m, n\})^2}
[/mm]
Sei q [mm] \le [/mm] 3, dann [mm] \bruch{q}{2} \le [/mm] 3/2
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{(l^2 + m^2 + n^2)^{q/2}} \ge \bruch{1}{(max\{l, m, n\})^q} [/mm] und wegen a) ist der letzte Ausdruck nicht summierbar, also ist die Familie auch nicht summierbar.
Behauptung: Für q > 3 ist die Familie summierbar.
Sei q > 3 [mm] \Rightarrow [/mm] q/2 > 3/2
[mm] \bruch{1}{(l^2 + m^2 + n^2)^{q/2}} \le \bruch{1}{(max\{l, m, n\})^q}
[/mm]
Aus a) folgt, dass der letzte Ausdruck summierbar ist, also ist auch die Familie summierbar für q/2 > 3/2
Insgesamt folgt:
q/2 > 3/2 , dann ist die Familie summierbar.
q/2 [mm] \le [/mm] 3/2 , dann ist die Familie nicht summierbar.
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Alexander,
> a)
>
> Beweis:
>
> Setze [mm]H_k[/mm] := [mm]\{(l, m, n) \in \IN^3 | l + m + n = k + 2\}[/mm]
> für k [mm]\in \IN[/mm]
>
> Behauptung: [mm]H_k[/mm] bilden eine Partition von [mm]\IN^3[/mm]
>
> Die [mm]H_k[/mm] sind offensichtlich alle paarweise verschieden. Man
> muss noch zeigen, dass [mm]\cup_{k \in \IN}H_k[/mm] = [mm]\IN^3[/mm]
> Hier wissen wir nicht, wie wir das zeigen sollen.
Dies ist auch offensichtlich: Zu jedem Tripel [mm] $(\ell, [/mm] m, [mm] n)\in \IN^3$ [/mm] gibt es genau ein [mm] $k\in \IN$, [/mm] so daß [mm] $(\ell,m,n)\in H_k$, [/mm] nämlich [mm] $k=\ell+m+n-2\,.$
[/mm]
>
> Wir brauchen diese Partition, um das große
> Assoziativgesetz für summierbare Familien anwenden zu
> können.
Für das Große Assoziativgesetz ist die Summierbarkeit der Familie eine Voraussetzung. Daher kann man mit diesem Satz nicht die Summierbarkeit folgern.
>
> Desweiteren behaupten wir: [mm]|H_k|[/mm] = [mm]|H_{k-1}|[/mm] + k =
> [mm]\summe_{n=1}^{k}n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}k(k+1)[/mm]
> Hier wissen wir auch nicht, wie wir die rekursive Formel
> [mm]|H_k|[/mm] = [mm]|H_{k-1}|[/mm] + k zeigen sollen. Wenn man dies gemacht
> hat, ist es ganz einfach per Induktion zu zeigen, dass
> [mm]|H_k|[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}k(k+1)[/mm] für alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt.
Die Rekursionsformel hat mich überrascht. Aber sie stimmt, wie ich mittels unvollständiger Induktion für $k=1, 2, 3$ und $4$ nachgeprüft habe. Um die Formel
[mm] $|H_k| [/mm] = {k+1 [mm] \choose [/mm] 2}$
mit Induktion nach $k$ zu zeigen, beachte
[mm] $|H_k| [/mm] = [mm] |R_k|$ [/mm] mit [mm] $R_k=\{(m,n) \in \IN^2\colon m+n \le k+1\}\,.$
[/mm]
Nun ist
[mm] $R_k$ [/mm] = [mm] $R_{k-1} \cup \{(m,n) \in \IN^2\colon m+n = k+1\}\,,$
[/mm]
wobei die Vereinigung disjunkt ist. Die rechte Menge läßt sich als
[mm] $\bigl\{(j, k+1-j)\colon 1\le j \le k\bigr\}$
[/mm]
darstellen und hat damit die Mächtigkeit [mm] $k\,.$ [/mm] Dies liefert den Induktionsschritt:
[mm] $|R_k| [/mm] = [mm] |R_{k-1}| [/mm] + [mm] k\,.$
[/mm]
>
> Im Folgenden werden die obigen Behauptungen vorausgesetzt.
>
> Sei q [mm]\in \IQ[/mm]
>
> Es gilt: [mm]max\{l, m, n\} \ge[/mm] 1 für alle (l, m, n) [mm]\in \IN^3[/mm]
>
> Für q [mm]\le[/mm] 0 gilt: [mm]\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q} \ge[/mm] 1 für
> alle (l, m, n) [mm]\in \IN^3[/mm]
>
> Also folgt mit dem Vergleichskriterium für summierbare
> Familien:
>
> Familie [mm]\{\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}\}_{(l,m,n) \in \IN^3}[/mm]
> nicht summierbar.
Richtig!
>
> Sei nun q > 0.
>
> Es gilt: [mm]\bruch{k}{3}[/mm] < [mm]\bruch{k+1}{3}[/mm] < [mm]\bruch{k+2}{3} \le max\{l, m, n\} \le[/mm]
> k [mm]\le[/mm] k+1
>
> [mm]\gdw (\bruch{k}{3})^q[/mm] < [mm](\bruch{k+1}{3})^q[/mm] <
> [mm](\bruch{k+2}{3})^q \le (max\{l, m, n\})^q \le k^q \le (k+1)^q[/mm]
>
> [mm]\gdw (\bruch{3}{k})^q[/mm] > [mm](\bruch{3}{k+1})^q[/mm] >
> [mm](\bruch{3}{k+2})^q \ge (\bruch{1}{max\{l, m, n\}})^q \ge (\bruch{1}{k})^q \ge (\bruch{1}{k+1})^q[/mm]
>
> Diese Ungleichungen gelten für alle natürlichen Zahlen l,
> m, n
Dies gilt natürlich nur für [mm] $(\ell, [/mm] m, [mm] n)\in H_k\,.$
[/mm]
>
> Jetzt können wir abschätzen:
>
> [mm]\summe_{(l, m, n) \in \IN^3}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q} \le \summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}(\bruch{3}{k+1})^q[/mm]
> = [mm]\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{2}k(k+1)(\bruch{3}{k+1})^q[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{3^q}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{(k+1)^2}{(k+1)^q}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{3^q}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{(k+1)^{q-2}}[/mm]
>
> Der letzte Ausdruck ist summierbar für q-2 > 1 [mm]\gdw[/mm] q > 3
> , da es sich um die verallgemeinerte harmonische Reihe
> multipliziert mit einer Konstanten handelt.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Familie für q > 3 summierbar.
>
> Behauptung: Für 0 < q [mm]\le[/mm] 3 , ist die Familie nicht
> summierbar.
>
> [mm]\summe_{(l, m, n) \in \IN^3}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}\bruch{1}{(max\{l,m,n\})^q}[/mm]
>
> [mm]\ge \summe_{k \in \IN}\summe_{(l, m, n) \in H_k}\bruch{1}{k^q}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k \in \IN}\bruch{k(k+1)}{2}\bruch{1}{k^q}[/mm]
>
> [mm]\ge \bruch{1}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{k^2}{k^q}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{k^{q-2}}[/mm]
>
> q [mm]\le[/mm] 3 [mm]\gdw[/mm] q - 2 [mm]\le[/mm] 1
>
> Also ist [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k \in \IN}\bruch{1}{k^{q-2}}[/mm]
> nicht summierbar, und nach dem Vergleichskriterium, ist
> somit die Familie auch nicht summierbar.
>
> Insgesamt folgt:
>
> q > 3, dann Familie summierbar
> q [mm]\le[/mm] 3, dann Familie nicht summierbar.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
>
> b)
>
> Beweis:
>
> Es gilt:
>
> [mm](max\{l, m, n\})^2[/mm] = [mm]max\{l^2, m^2, n^2\} \le l^2[/mm] + [mm]m^2[/mm] +
> [mm]n^2 \le 3max\{l^2, m^2, n^2\}[/mm] = [mm]3(max\{l, m, n\})^2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3(max\{l, m, n\})^2} \le \bruch{1}{l^2 + m^2 + n^2} \le \bruch{1}{(max\{l, m, n\})^2}[/mm]
>
> Sei q [mm]\le[/mm] 3, dann [mm]\bruch{q}{2} \le[/mm] 3/2
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(l^2 + m^2 + n^2)^{q/2}} \ge \bruch{1}{(max\{l, m, n\})^q}[/mm]
> und wegen a) ist der letzte Ausdruck nicht summierbar, also
> ist die Familie auch nicht summierbar.
>
> Behauptung: Für q > 3 ist die Familie summierbar.
>
> Sei q > 3 [mm]\Rightarrow[/mm] q/2 > 3/2
> [mm]\bruch{1}{(l^2 + m^2 + n^2)^{q/2}} \le \bruch{1}{(max\{l, m, n\})^q}[/mm]
>
> Aus a) folgt, dass der letzte Ausdruck summierbar ist, also
> ist auch die Familie summierbar für q/2 > 3/2
>
> Insgesamt folgt:
>
> q/2 > 3/2 , dann ist die Familie summierbar.
>
> q/2 [mm]\le[/mm] 3/2 , dann ist die Familie nicht summierbar.
>
> [mm]\Box[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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> > Behauptung: [mm]H_k[/mm] bilden eine Partition von [mm]\IN^3[/mm]
> >
> > Die [mm]H_k[/mm] sind offensichtlich alle paarweise verschieden. Man
> > muss noch zeigen, dass [mm]\cup_{k \in \IN}H_k[/mm] = [mm]\IN^3[/mm]
> > Hier wissen wir nicht, wie wir das zeigen sollen.
>
> Dies ist auch offensichtlich: Zu jedem Tripel [mm](\ell, m, n)\in \IN^3[/mm]
> gibt es genau ein [mm]k\in \IN[/mm], so daß [mm](\ell,m,n)\in H_k[/mm],
> nämlich [mm]k=\ell+m+n-2\,.[/mm]
Ok, das macht Sinn.
> > Wir brauchen diese Partition, um das große
> > Assoziativgesetz für summierbare Familien anwenden zu
> > können.
>
> Für das Große Assoziativgesetz ist die Summierbarkeit der
> Familie eine Voraussetzung. Daher kann man mit diesem Satz
> nicht die Summierbarkeit folgern.
Ich verwende aber das Große Assoziativgesetz für nichtnegative Familien.
Daher ist es egal, ob die Familie summierbar ist oder nicht. Zumindest steht es bei uns im Skript so.
> > Desweiteren behaupten wir: [mm]|H_k|[/mm] = [mm]|H_{k-1}|[/mm] + k =
> > [mm]\summe_{n=1}^{k}n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}k(k+1)[/mm]
> > Hier wissen wir auch nicht, wie wir die rekursive
> Formel
> > [mm]|H_k|[/mm] = [mm]|H_{k-1}|[/mm] + k zeigen sollen. Wenn man dies gemacht
> > hat, ist es ganz einfach per Induktion zu zeigen, dass
> > [mm]|H_k|[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}k(k+1)[/mm] für alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt.
>
> Die Rekursionsformel hat mich überrascht. Aber sie stimmt,
> wie ich mittels unvollständiger Induktion für [mm]k=1, 2, 3[/mm]
> und [mm]4[/mm] nachgeprüft habe. Um die Formel
>
> [mm]|H_k| = {k+1 \choose 2}[/mm]
>
> mit Induktion nach [mm]k[/mm] zu zeigen, beachte
>
> [mm]|H_k| = |R_k|[/mm] mit [mm]R_k=\{(m,n) \in \IN^2\colon m+n \le k+1\}\,.[/mm]
>
> Nun ist
>
> [mm]R_k[/mm] = [mm]R_{k-1} \cup \{(m,n) \in \IN^2\colon m+n = k+1\}\,,[/mm]
>
> wobei die Vereinigung disjunkt ist. Die rechte Menge läßt
> sich als
>
> [mm]\bigl\{(j, k+1-j)\colon 1\le j \le k\bigr\}[/mm]
>
> darstellen und hat damit die Mächtigkeit [mm]k\,.[/mm] Dies liefert
> den Induktionsschritt:
>
> [mm]|R_k| = |R_{k-1}| + k\,.[/mm]
Okay. Da wäre ich so niemals draufgekommen.
Aber schön, dass der Rest des Beweises stimmt.
Danke für deine Hilfe!
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