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| Aufgabe | Berechnen Sie für einige natürliche Zahlen die Summe
[mm] \bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*4} +...+\bruch{1}{n(n+1}
[/mm]
und stellen Sie dann eine Vermutung über ihre Summenformel auf. Beweisen Sie Ihre Vermutung. |
Hi, ich bin gerade mit dieser Aufgabe beschäftigt und zunächst auf [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] gekommen. Wie aber bekomme ich das Summenzeichen entfernt und es in einen expliziten Ausdruck umgewandelt?
Habe gedacht ich könnte von
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] ausgehen und einfach den Ausdruck [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] als n in die Formel einsetzten, hat aber nicht geklappt
freue mich auf eure Tipps :)
lg Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Do 26.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Martin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Berechnen Sie für einige natürliche Zahlen die Summe
> [mm]\bruch{1}{1*2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2*3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3*4} +...+\bruch{1}{n(n+1}[/mm]
Eine Klammer fehlt am Ende. Du meinst
[mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+\ldots+\bruch{1}{n(n+1)}.
[/mm]
> und stellen Sie dann eine Vermutung über ihre Summenformel
> auf. Beweisen Sie Ihre Vermutung.
> Hi, ich bin gerade mit dieser Aufgabe beschäftigt und
> zunächst auf [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n(n+1)}[/mm] gekommen.
Du musst mit den Indizes aufpassen. Du meinst
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}.
[/mm]
> Wie aber bekomme ich das Summenzeichen entfernt und es in
> einen expliziten Ausdruck umgewandelt?
Es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\ldots+\bruch{1}{n(n+1)}.
[/mm]
> Habe gedacht ich könnte von
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] k = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
Auch hier musst du mit den Indizes aufpassen. Du meinst
[mm] \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}.
[/mm]
> ausgehen und
> einfach den Ausdruck [mm]\bruch{1}{n(n+1)}[/mm] als n in die Formel
> einsetzten, hat aber nicht geklappt
Das verstehe ich nicht.
> freue mich auf eure Tipps :)
Okay, dann gibt es zwei Tipps:
1. Es gilt:
[mm] \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] (Partialbruchzerlegung).
2. Benutze den ersten Tipp um die Summe äquivalent umzuformen.
Anschließend schreibe die Summe erneut aus und benutze dein
"scharfes" Auge um zu kürzen (genauer: Teleskopsumme).
Gruß
DieAcht
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Hi, die Acht, Dankeschön für das Willkommen :) und für deine Hinweise.
Tipp eins hat auf jeden Fall sehr geholfen!!
Habe jetzt hier stehen [mm] (\bruch{1}{1}-\bruch{1}{2})+(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3})... [/mm] und habe gesehen, dass sich immer jeweils der rechte teil einer klammer mit dem linken teil der nächsten klammer aufhebt. Habe also [mm] 1-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Das scheint zu stimmen, Induktion krieg ich hin :)
Aber: Wie kommst du auf Tipp 1? Kann man das irgendwie erkennen?
lG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 26.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Habe also [mm]1-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Richtig.
> Das scheint zu stimmen, Induktion krieg ich hin :)
Okay, aber eine Induktion ist hier nicht nötig. Du bist fertig.
> Aber: Wie kommst du auf Tipp 1?
Partialbruchzerlegung.
> Kann man das irgendwie erkennen?
Das ist das 0815 Beispiel einer Teleskopsumme, die sich versteckt. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 26.02.2015 | | Autor: | Lululululu |
Ok :D Teleskopsumme werd ich mal googlen, hab das noch nie zuvor gehört. Vielen Dank für deine Hilfe!! :)
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