Summenzeichen auflösen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie bitte [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2-1/4} [/mm] in geschlossener form, d.h. in einer Daarstellung, die nur von n abhängt und kein summenzeichen und keine Laufindex verwendet. |
(Edit Marcel: Bitte in Formel nicht sowas wie x² mit der "Tastaturkombination"
schreiben - sondern immer als
[mm] [nomm]$x^2$[/nomm] $\to$ $x^2$.
[/mm]
Andernfalls werden Quadrate (oder auch 3er-Potenzen) *unsichtbar*.)
Guten Tag,
oben genannte Aufgabenstellung lässt mich bisschen verzweifeln.
Als Hinweis steht noch ich kann den Nenner zerlegen in (i+0,5)*(i-0,5) aber ich weis nicht wie das Summenzeichen weg bekomme.
Ich hab schon im Internet gesucht hab aber keine genau Anleitung gefunden wie man Summenzeichen auflöst. Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Eventuell läuft das auf eine Teleskopsumme heraus, also so was wie
[mm] $\sum_{i=0}^N (a_{i+1}-a_i)=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+\ldots+(a_{N+1}-a_N)=a_{N+1}-a_0.
[/mm]
Als Tipp wurde dir jetzt gegeben den Nenner zu faktorisieren. Schaffst du es damit den Bruch irgendwie in 2 aufzuteilen, sodass du etwas teleskopsummenmäßiges herausbekommst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
Ich kann darauß das machen:
[mm] \bruch{1}{8i+.5)*(i-.5)}
[/mm]
Aber was mir das helfen soll versteh ich nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Aaahh sorry, habe mich vertan. Ich schaue später noch einmal drüber, sorry. Du hast recht, das bringt so erst einmal nichts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
trotzdem ist das die Standardmethode.
Allerdings lässt sich dein Nenner natürlich nicht in die Form $ (i-a)*(i-b) $ zerlegen.
Du solltest unbedingt mal nachschauen, ob der Nenner nicht vielleicht [mm] i^2-\bruch{1}{4} [/mm] heißt, was sich ja als $ (i-0,5)*(i+0,5) $ schreiben lässt, wodurch dann [mm] a_i=\bruch{1}{i-0,5}-\bruch{1}{i+0,5} [/mm] würde -- eine feine Teleskopsumme.
Gruß Sax
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> trotzdem ist das die Standardmethode.
> Allerdings lässt sich dein Nenner natürlich nicht in die
> Form [mm](i-a)*(i-b)[/mm] zerlegen.
> Du solltest unbedingt mal nachschauen, ob der Nenner nicht
> vielleicht [mm]i^2-\bruch{1}{4}[/mm] heißt, was sich ja als
> [mm](i-0,5)*(i+0,5)[/mm] schreiben lässt, wodurch dann
> [mm]a_i=\bruch{1}{i-0,5}-\bruch{1}{i+0,5}[/mm] würde -- eine feine
> Teleskopsumme.
das steht da: Es wurde nur die "^2" Taste gedrückt, anstatt das
$...^2$
zu schreiben (klick einfach mal auf die Formel oder halte die Maus drüber).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
Und das ist dann das Ergebnis?
Ich dachte da muss sowas wie bei :
[mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
raus kommen? Ich versteh leider nicht was es mir der Teleskopsumme auf sich hat.
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Hallo,
> Und das ist dann das Ergebnis?
> Ich dachte da muss sowas wie bei :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> raus kommen?
Tut es auch. 
> Ich versteh leider nicht was es mir der
> Teleskopsumme auf sich hat.
Bei einer (endlichen) Teleskopsumme heben sich im einfachsten Fall (der hier vorliegt) alle Glieder bis auf das erste und das letzte heraus.
Vielleicht schreibst du einmal einige Reihenglieder in der zerlegten Form auf, dann sollte der Groschen fallen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
Kommt dann sowas dabei raus?
[mm] \bruch{1}{1,5} -\bruch{1}{,5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2,5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1,5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3,5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2,5}
[/mm]
Und dann bleibt nur [mm] -\bruch{1}{,5} [/mm] Übrig oder ?
Hab mir dazu dies hier angesehen, weis jetzt aber nicht wie es zu der Schlussfolgerung ganz unten auf der 1 Seite kommt.
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 22.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Nobody12,
> Kommt dann sowas dabei raus?
>
> [mm]\bruch{1}{1,5} -\bruch{1}{,5}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2,5}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{1,5}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3,5}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2,5}[/mm]
Nein, du hast dich vertan. Es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\summe_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i-\frac{1}{2}}-\frac{1}{i+\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\right)+\left(\frac{1}{2-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2+\frac{1}{2}}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{(n-1)-\frac{1}{2}}-\frac{1}{(n-1)+\frac{1}{2}}\right)+\left(\frac{1}{n-\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)=\ldots
[/mm]
> Und dann bleibt nur [mm]-\bruch{1}{,5}[/mm] Übrig oder ?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du denn auf das Minuszeichen? Rechne das oben
weiter. Was bleibt genau übrig? Wenn du dir unsicher bist,
dann kannst du dir auch mal für $n=3$ bzw. $(n-2)$ die Sum-
manden dazuschreiben, aber eigentlich sollte das ausreichen.
> Hab mir dazu dies hier angesehen, weis jetzt aber nicht wie
> es zu der Schlussfolgerung ganz unten auf der 1 Seite
> kommt.
>
> Link-Text
Hier wurde eben der letzte Summand berücksichtigt. Beachte
aber, dass es sich dort um eine (Teleskop-)Reihe und nicht
um eine endliche (Teleskop-)Summe handelt! Aus diesem Grund
musst du am Ende aufpassen.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
Oh du hast recht ich habe plus und minus vertauscht.
[mm] \bruch{1}{0,5} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{(n+1)- \bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Kommt das den daraus, weil sich davor ja alles aufhebt ?
Ich komme leider immer noch nicht darauf wie aus (i+0,5)*(i-0,5) der Bruch wird. Wieso kommt da ein Minus zwischen und kein mal?
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Hallo,
du sollst doch nur bis n summieren, weshalb dann die n+1?
Außerdem kann man ja dann auch wieder zusammenfassen...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
Okay...
Ich hab jetzt wie mir geraten wurde für n=3 eingesetzt.
... dann kommt [mm] \bruch{1}{(3-1)-0,5}- \bruch{1}{(3-1)+0,5}-\bruch{1}{3-0,5}-\bruch{1}{3+0,5} [/mm]
aber dann kürzt sich doch schon wieder die [mm] \bruch{1}{2,5} [/mm] weg und was soll mir das dann sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mo 24.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Okay...
>
> Ich hab jetzt wie mir geraten wurde für n=3 eingesetzt.
>
> ... dann kommt [mm]\bruch{1}{(3-1)-0,5}- \bruch{1}{(3-1)+0,5}-\bruch{1}{3-0,5}-\bruch{1}{3+0,5}[/mm]
Was hast du denn hier angestellt? Du betrachtest doch
[mm] \summe_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\summe_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i-\frac{1}{2}}-\frac{1}{i+\frac{1}{2}}\right)=\blue{\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\right)+\left(\frac{1}{2-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2+\frac{1}{2}}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{(n-1)-\frac{1}{2}}-\frac{1}{(n-1)+\frac{1}{2}}\right)+\left(\frac{1}{n-\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Da darfst du nicht für $i$ sondern nur für $n$ natürliche
Zahlen einsetzen! Ich habe dir gesagt, dass du dir zum Bei-
spiel die Summanden für $n=3$ aufschreiben sollst.
[mm] \summe_{i=1}^{3}\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\summe_{i=1}^{3}\left(\frac{1}{i-\frac{1}{2}}-\frac{1}{i+\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\right)+\left(\frac{1}{2-\frac{1}{2}}\red{-\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}\right)+\left(\red{\frac{1}{3-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3+\frac{1}{2}}\right)=\ldots
[/mm]
Hier sollte dir auffallen, dass dann auch der rote Teil weg-
fällt. Nun überleg dir genau was am Ende passiert. Also guck
dir nochmal die komplette Reihe oben an und be-
trachte das Ende. Den Anfang hast du bereits.
> aber dann kürzt sich doch schon wieder die [mm]\bruch{1}{2,5}[/mm]
> weg und was soll mir das dann sagen?
Auch wenn der Wert wahrscheinlich falsch ist, soll es dir
sagen, dass fast alle anderen (bis auf genau eins) auch weg-
fallen. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Nobody12 |
Bleibt
[mm] \bruch{1}{n-1,5}-\bruch{1}{n+0,5} [/mm] übrig?
Weiter weis ich nicht ! Wenn das falsch ist könnte mir jemand bitte die Lösung verraten ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 24.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Oh du hast recht ich habe plus und minus vertauscht.
>
> [mm]\bruch{1}{0,5}[/mm] + [mm](\bruch{1}{(n+1)- \bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(n+1)+\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Kommt das den daraus, weil sich davor ja alles aufhebt ?
Das ist falsch, aber das hat dir Diophant schon berichtigt.
Beachte, dass nur noch genau zwei Brüche übrig bleiben.
> Ich komme leider immer noch nicht darauf wie aus
> (i+0,5)*(i-0,5) der Bruch wird. Wieso kommt da ein Minus
> zwischen und kein mal?
Scharfes Hingucken, Übung, Erfahrung. Such es dir aus.
Es gilt:
[mm] \frac{1}{i-\frac{1}{2}}-\frac{1}{i+\frac{1}{2}}=\frac{i+\frac{1}{2}}{(i+\frac{1}{2})(i-\frac{1}{2})}-\frac{i-\frac{1}{2}}{(i-\frac{1}{2})(i+\frac{1}{2})}=\frac{i+\frac{1}{2}-(i-\frac{1}{2})}{(i+\frac{1}{2})(i-\frac{1}{2})}=\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}} [/mm] für alle [mm] i\in\IR\setminus\{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\}.
[/mm]
Teleskopsummen bzw Teleskopreihen sind in der Regel ein wenig
versteckt. Siehe dazu auch den Link von Marcel.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und das ist dann das Ergebnis?
> Ich dachte da muss sowas wie bei :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> raus kommen? Ich versteh leider nicht was es mir der
> Teleskopsumme auf sich hat.
dann schlag' es mal
 hier (klick!)
nach.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
siehe meinen Edit. Ich habe die folgende Frage daher auf beantwortet
gestellt und auch Sax Mitteilung in eine Antwort umgewandelt, weil das,
was er sagt, zu der nun (korrekt sichtbaren) Aufgabenstellung wirklich eine
Antwort ist.
Gruß,
Marcel
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