Summenzeichen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | s1 = [mm] \summe_{i=0}^{n}(i) [/mm] = 0 + 1 + ... + n
s2 = [mm] \summe_{i=0}^{n}(n-i) [/mm] = n + (n-1) + ... + 0 |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{i=0}^{n}(q^i)= \bruch{1-q^n^+^1)}{1-q} [/mm] |
Hallo,
ich muss mir das Thema Summenzeichen erarbeiten und erhielt zudem 1 Aufgabe inkl. mir unschlüssiger Lösung:
S1+S2 = n+n+...+n = [mm] \summe_{i=0}^{n}(i)+\summe_{i=0}^{n}(n-i)
[/mm]
S1+S2= (n+1)n = [mm] \summe_{i=0}^{n}(i+n-1)
[/mm]
Wäre wirklich super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Das Thema/die Logik erarbeitete ich mir, dort scheiter ich jedoch an der Zahlenreihe selbst (die Addition der Zeichen ist mir klar). Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo BarraSargtlin und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> s1 = [mm]\summe_{i=0}^{n}(i)[/mm] = 0 + 1 + ... + n
> s2 = [mm]\summe_{i=0}^{n}(n-i)[/mm] = n + (n-1) + ... + 0
> [mm]\summe_{i=0}^{n}(q^i)= \bruch{1-q^n^+^1)}{1-q}[/mm]
> Hallo,
>
> ich muss mir das Thema Summenzeichen erarbeiten und erhielt
> zudem 1 Aufgabe inkl. mir unschlüssiger Lösung:
>
> S1+S2 = n+n+...+n = [mm]\summe_{i=0}^{n}(i)+\summe_{i=0}^{n}(n-i)[/mm]
Wie oft addierst du denn da in der Mitte die n auf?
Das ist doch entscheidend!
> S1+S2= (n+1)n = [mm]\summe_{i=0}^{n}(i+n-1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Wäre wirklich super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Was ist dir denn genau unklar?
Es ist [mm]\red{s_1}+\blue{s_2}=(\underbrace{\red{0+1+2+3+\ldots +n}}_{n+1 \ \text{Summanden}})+(\underbrace{\blue{n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots +(n-n)}}_{n+1 \ \text{Summanden}})[/mm]
Nun gem. Kommutativ- und Assoziativgesetz immer paarweise die Summanden zusammenführen, den ersten roten mit dem ersten blauen, den zweiten roten mit dem zweiten blauen usw.
[mm]=(\red 0+\blue n)+(\red{1}+\blue{(n-1)})+(\red 2+\blue{(n-2)})+(\red 3+\blue{(n-3)})+\ldots +(\red n+\blue{(n-n)})[/mm]
[mm]=\underbrace{n+n+n+\ldots +n}_{(n+1)-\text{mal}} \ = (n+1)\cdot{}n=(n+1)\cdot{}n[/mm]
Mit den Summenzeichen geschrieben und gerechnet:
[mm]\sum\limits_{i=0}^n\red{i} \ + \ \sum\limits_{i=0}^n\blue{(n-i)} \ = \ \sum\limits_{i=0}^n(\red i+\blue{(n-i)}) \ = \sum\limits_{i=0}^nn[/mm]
Und hier wird [mm]n+1[/mm] mal das n aufsummiert, das ergibt also [mm](n+1)\cdot{}n[/mm]
> Das Thema/die Logik erarbeitete ich mir, dort scheiter ich
> jedoch an der Zahlenreihe selbst (die Addition der Zeichen
> ist mir klar). Danke!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> [mm]=\underbrace{n+n+n+\ldots +n}_{(n+1)-\text{mal}} \ = (n+1)\cdot{}n=(n+1)\cdot{}n[/mm]
>
> [mm]\sum\limits_{i=0}^n\red{i} \ + \ \sum\limits_{i=0}^n\blue{(n-i)} \ = \ \sum\limits_{i=0}^n(\red i+\blue{(n-i)}) \ = \sum\limits_{i=0}^nn[/mm]
>
> Und hier wird [mm]n+1[/mm] mal das n aufsummiert, das ergibt also
> [mm](n+1)\cdot{}n[/mm]
Ersteinmal ein riesen Danke, das half mir schoneinmal sehr weiter!
Vom Summenzeichen ausgehend, ist mir das nun klar: n wird jedesmal addiert, i ist dabei "egal", da wir nur n's addieren und es lediglich die anzahl angibt. Jedoch tu ich mich mit (n+1)n schwer. Es käme doch n²+n raus? Ich steh' wirklich auf dem Schlauch, entschuldige.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 18.10.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > [mm]=\underbrace{n+n+n+\ldots +n}_{(n+1)-\text{mal}} \ = (n+1)\cdot{}n=(n+1)\cdot{}n[/mm]
>
> >
>
> > [mm]\sum\limits_{i=0}^n\red{i} \ + \ \sum\limits_{i=0}^n\blue{(n-i)} \ = \ \sum\limits_{i=0}^n(\red i+\blue{(n-i)}) \ = \sum\limits_{i=0}^nn[/mm]
>
> >
> > Und hier wird [mm]n+1[/mm] mal das n aufsummiert, das ergibt also
> > [mm](n+1)\cdot{}n[/mm]
>
> Ersteinmal ein riesen Danke, das half mir schoneinmal sehr
> weiter!
> Vom Summenzeichen ausgehend, ist mir das nun klar: n wird
> jedesmal addiert, i ist dabei "egal", da wir nur n's
> addieren und es lediglich die anzahl angibt. Jedoch tu ich
> mich mit (n+1)n schwer. Es käme doch n²+n raus? Ich steh'
> wirklich auf dem Schlauch, entschuldige.
>
Ja, $(n+1)*n = [mm] n^2 [/mm] +n$.
(ausmultipliziert; führt aber vielleicht etwas von der Aufgabe weg.)
Folgendes Beispiel (einfach mit Zahlen statt n und n+1):
[mm] $\underbrace{ 3+3+3+3+3+3+3}_{7-\text{mal}} [/mm] = 7*3$
Statt 3 hat man in der Aufgabe nun n und statt n+1 (wäre dann 4 ) ist aber im Beispiel 7.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
AH, danke!
n-mal das n und dazu nochmal den Startwert, also 0*n, deswegen (n+1)n.
Super, ich danke vielmals für die schnelle und vorallem hilfreiche Lösung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> s1 = [mm]\summe_{i=0}^{n}(i)[/mm] = 0 + 1 + ... + n
> s2 = [mm]\summe_{i=0}^{n}(n-i)[/mm] = n + (n-1) + ... + 0
> [mm]\summe_{i=0}^{n}(q^i)= \bruch{1-q^n^+^1)}{1-q}[/mm]
zur letzten Summe: lies' mal hier.
> Hallo,
>
> ich muss mir das Thema Summenzeichen erarbeiten und erhielt
> zudem 1 Aufgabe inkl. mir unschlüssiger Lösung:
>
> $S1+S2 = n+n+...+n = [mm] \summe_{i=0}^{n}(i)+\summe_{i=0}^{n}(n-i)$
[/mm]
sinnvoller wäre es, das ganze so aufzuschreiben:
$$S1+S2= [mm] \summe_{i=0}^{n}(i)+\summe_{i=0}^{n}(n-i)=\underbrace{n+n+...+n}_{n+1\text{ Mal}}=(n+1)*n$$
[/mm]
Wegen [mm] $S1=S2\,$ [/mm] steht da also mit [mm] $\text{gesuchte Summe}(n):=S1$
[/mm]
[mm] $$2*\text{gesuchte Summe}(n)=(n+1)*n\,.$$
[/mm]
Ohne das Summenzeichen (nichtsdestotrotz solltest Du das Rechnen mit
dem Summenzeichen üben) geht's so:
[mm] $\begin{matrix}{&1 &+2 \;\;&+3 \;\;\;\;\;& +... &\;\;\; \;\;\;\;\;\;+(n-1)& +n & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=:s_n\;\;\\ \red{+} (&n & \;\;\;\;\;\;+(n-1) &\;\;\;\;+\;(n-2) & +... & +2 & +1)&\;\;\;\;\;\;\;=s_n}\end{matrix}$
[/mm]
____________________________________________________________
$ [mm] \underbrace{(1+n)}_{=n+1}\;\;+\underbrace{(2+(n-1))}_{=n+1}+\;\;...\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+(n+1)\;\;=s_n+s_n\,. [/mm] $
Das ist das, was ihr gerechnet habt: In der oberen Zeile steht [mm] $S1=s_n$
[/mm]
und in der unteren [mm] $S2=s_n\,.$ [/mm] Addierst Du diese beiden Gleichungen,
so kommt rechterhand [mm] $2s_n$ [/mm] raus. Linkerhand ist jede "Spaltensumme"
gerade [mm] $n+1\,,$ [/mm] und man hat [mm] $n\,$ [/mm] Spalten. Also
[mm] $$(n+1)*n=2s_n\,.$$
[/mm]
Und jetzt schreiben wir das alles nochmal, was wir hier "schulgerecht"
notiert haben, mit dem Summenzeichen hin:
[mm] $$S1=s_n=\text{obere Zeile}=\sum_{k=1}^n k\,.$$
[/mm]
[mm] $$S2=s_n=\text{untere Zeile}=\sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\,.$$
[/mm]
Daher:
[mm] $$S1+S2=2s_n=(\sum_{k=1}^n k)+\sum_{k=1}^n (n+1-k)\,.$$
[/mm]
Wegen Kommutativität und Assoziativität der Addition kann man aber
rechnen:
[mm] $$(\sum_{k=1}^n k)+\sum_{k=1}^n (n+1-k)=\sum_{k=1}^n (k+(n+1-k))=\sum_{k=1}^n (n+1)\,.$$
[/mm]
Nun ist [mm] $n+1\,$ [/mm] nicht mehr von der Laufvariable [mm] $k\,$ [/mm] abhängig, also folgt
[mm] $$=(n+1)*(\sum_{k=1}^n 1)=(n+1)*n\,.$$
[/mm]
Fazit:
[mm] $$2s_n=(n+1)*n\,.$$
[/mm]
Eigentlich haben wir genauso gerechnet wie in der "schulgerechten Form",
nur halt mit dem Summenzeichen und zudem haben wir die Umformungen
begründet!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
