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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 20.09.2009 | | Autor: | LiptiC |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgende Summe!
[mm] \summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{i+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{i+2}) [/mm] |
Durch logisches überlegen erhalte ich das Ergebnis: [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
Wie komme ich allerdigns auch rechnerisch auf ein solches Ergebnis?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo LiptiC,
> Berechnen Sie die folgende Summe!
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> [mm]\summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{i+1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{i+2})[/mm]
> Durch logisches überlegen erhalte ich das Ergebnis:
> [mm]\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> Wie komme ich allerdigns auch rechnerisch auf ein solches
> Ergebnis?
Du könntest dir die Summe mal ausschreiben (mit Pünktchen ...), um ein Schema zu entdecken:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{i+1}-\frac{1}{i+2}\right)$
[/mm]
[mm] =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+....+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$
[/mm]
Man erkennt, dass sich stets der zweite Summand einer Klammer mit dem ersten Summanden der Folgeklammer zu 0 ergänzt.
Übrig bleibt also [mm] $1-\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}$
[/mm]
Streng formal solltest du diese Vermutung/Erkenntnis dann durch einen Beweis (durch vollst. Induktion nach n) untermauern ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 20.09.2009 | | Autor: | LiptiC |
Also gibt es nicht die Möglichkeit auf das Ergebnis rechnerisch zu kommen, wie es z.B. Gauß gemacht hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 20.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LiptiC!
Was willst Du denn noch mehr rechnen als Schachuzipus!
Wenn Du hier auf "Gauß" anspielst: der hatte damals als kleiner Junge auch eine konkrete Summe mit bekannten Ende $1+2+3+...+100_$ zu berechnen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 So 20.09.2009 | | Autor: | Kinghenni |
hi
solche summen werden auch "teleskopsummen" genannt
wenn du noch probleme hast, kannst du ja einfach mal nach googeln
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