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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Sa 16.09.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Es ist:
[mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i+1}-\summe_{i=0}^{n}a^{i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n+1}a^{i}-\summe_{i=0}^{n}a^{i}
[/mm]
[mm] =a^{n+1}-a^{0}=a^{n+1}-1 [/mm] |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zu obigen Summen. Ich habe diese Subtraktion der Summen mal mit Zahlen von i=1 bis 4 durchgespielt und ich sehe natürlich, das genau das herauskommt was in der letzten Zeile steht, also weil sich ja sozusagen alle Faktoren heraussubtrahieren, bis eben auf den letzten Faktor [mm] a^{n+1} [/mm] und die 1. Aber wie komme ich darauf das ich das alles so hinschreiben kann wie oben gezeigt ohne das ich es mit Beispielzahlen ausprobiere. Die erste Summe wird ja sozusagen umnummeriert und wird dann sozusagen nicht mehr [mm] a^{i+1} [/mm] sondern nur noch [mm] a^{i}. [/mm] Aber wie kriege ich raus wie ich den Summationsterm ändern muss wenn ich die Summe entsprechend umnummerieren will, oder auch andersherum, wie sehe ich wenn ich den Summationsterm ändern will um beispielsweise etwas auszuklammern wie ich die dazugehörige Summe umzunummerieren habe??? Ich sehe hier irgendwie keinen Zusammenhang. Vielleicht ist es ja ganz einfach ich seh es nur noch nicht.
Kann mir jemand dabei helfen?
Gruß,
clwoe
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Eigentlich ists einfach, allerdings braucht's ein wenig Übung, damit man das sieht und sich nicht vertut.
In diesem Fall gehts darum, den Index von beiden a's so umzusetzen, daß beide den gleichen Index haben. Jetzt kannst du beide Summen voneinander abziehen. Allerdings natürlich nur die Summanden, die in beiden vorkommen, also auch nur die Indizes, die in beiden Summen stehen.
Die linke Summe fängt bei i=1 an, die rechte bei i=0. Das heißt, von der rechten Summe bleibt hier der Index i=0 übrig, alle höheren lassen sich mit der linken Summe verrechnen.
Bis natürlich auf den letzten Index. Links hast du i=n+1, rechts nur i=n. DAs heißt auch hier, daß links der n+1-Index übrig bleibt.
Also, man kann das ganze noch so umschreiben:
[mm] $\left( a_{n+1}+\summe_{i=1}^{n}a^{i}\right)-\left( a_0+\summe_{i=1}^{n}a^{i}\right)$
[/mm]
Hier haben beide Summen wieder die gleichen Indizes, und heben sich weg.
Wie gesagt, der Trick bei sowas ist meistens, den Indexbereich so umzuschreiben, daß die einzelnen Summanden den gleichen Index haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 16.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
warum schreibe ich die Summen überhaupt um, sie sind doch beide schon gleich. Beide gehen von 0 bis n. Und was ich überhaupt nicht verstanden habe ist das, warum die linke Summe von n auf n+1 abgeändert wird. Warum wird dann der Summationsterm nicht auch entsprechend abgeändert???
Könnte mir das mal anhand einer Rechnung genau zeigen. Ich steige einfach nicht durch.
Gruß,
clwoe
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Hiho,
die beiden Summen sind eben nicht gleich, denn sie haben unterschiedliche Summanden.... die eine hat [mm] a^{i+1} [/mm] und die andere [mm] a^i.
[/mm]
Sicherlich müsstest du keine Indexverschiebung machen, sondern könntest die Summen direkt zusammenziehen, das würde dann wie folgt aussehen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i+1} - \summe_{i=0}^{n}a^i
= - (\summe_{i=0}^{n}a^i - \summe_{i=0}^{n}a^{i+1})
= - \summe_{i=0}^{n}(a^i - a^{i+1})[/mm]
[mm] = - [ (a^0 - a^1) + (a^1 - a^2) + ... + (a^n - a^{n+1})]
= - [1 - a^{n+1}] = a^{n+1} - 1 [/mm]
Dies nennt man Teleskopsumme, weil das letzte Glied des ersten Summanden sich gerade mit dem ersten Glied des zweiten Summanden aufhebt usw.
Ein weiterer Weg wäre die Indexverschiebung, wie von Event Horizon vorgeschlagen. Durch die Indexverschiebung erreicht man, daß sowohl bei der ersten Summe, als auch bei der zweiten Summe jeweils [mm] a^i [/mm] vorkommt, da man dann leicht beides voneinander subtrahieren kann.
Als Beispiel mal deine Aufgabe:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1} - \summe_{i=0}^{n}a^i [/mm]
Nun wollen wir erreichen, daß bei der ersten Summe anstatt [mm] a^{i+1} [/mm] ebenfalls [mm] a^i [/mm] steht, dazu gucken wir sie uns genauer an:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1}
= a^{0+1} + a^{1+1} + ... + a^{n+1}
= a^{1} + a^{2} + ... + a^{n+1}
= \summe_{i=1}^{n+1}a^i[/mm]
Ich hoffe, das ist einigermaßen ersichtlich. Allgemein gilt:
Obere und untere Grenze müssen um den gleichen Wert nach "oben" (unten) korrigiert werden, dann müssen die Summanden aber nach "unten" (oben) angepasst werden.
Also könnte man auch schreiben:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1} = \summe_{i=0+17}^{n+17}a^{i+1-17} = \summe_{i=17}^{n+17}a^{i-16} [/mm]
Ich hoffe, die Indexverschiebung ist nu klar 
Nun weiter zu deiner Aufgabe, wir hatten ja:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1} - \summe_{i=0}^{n}a^i = \summe_{i=1}^{n+1}a^{i} - \summe_{i=0}^{n}a^i [/mm]
Nun sind beide Summen identisch, bis auf den Anfangs- und Endindex.
Also bleibt von der ersten Summe nur der [mm]n+1[/mm]-te Summand stehen (alle anderen werden ja abgezogen) und bei der zweiten Summe bleibt nur [mm] a^0 [/mm] stehen, also gilt:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1}a^{i} - \summe_{i=0}^{n}a^i
= a^{n+1} - a^0
= a^{n+1} - 1[/mm]
Gruß,
Gono.
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Hiho,
die beiden Summen sind eben nicht gleich, denn sie haben unterschiedliche Summanden.... die eine hat [mm] a^{i+1} [/mm] und die andere [mm] a^i.
[/mm]
Sicherlich müsstest du keine Indexverschiebung machen, sondern könntest die Summen direkt zusammenziehen, das würde dann wie folgt aussehen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i+1} - \summe_{i=0}^{n}a^i
= - (\summe_{i=0}^{n}a^i - \summe_{i=0}^{n}a^{i+1})
= - \summe_{i=0}^{n}(a^i - a^{i+1})[/mm]
[mm] = - [ (a^0 - a^1) + (a^1 - a^2) + ... + (a^n - a^{n+1})]
= - [1 - a^{n+1}] = a^{n+1} - 1 [/mm]
Dies nennt man Teleskopsumme, weil das letzte Glied des ersten Summanden sich gerade mit dem ersten Glied des zweiten Summanden aufhebt usw.
Ein weiterer Weg wäre die Indexverschiebung, wie von Event Horizon vorgeschlagen. Durch die Indexverschiebung erreicht man, daß sowohl bei der ersten Summe, als auch bei der zweiten Summe jeweils [mm] a^i [/mm] vorkommt, da man dann leicht beides voneinander subtrahieren kann.
Als Beispiel mal deine Aufgabe:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1} - \summe_{i=0}^{n}a^i [/mm]
Nun wollen wir erreichen, daß bei der ersten Summe anstatt [mm] a^{i+1} [/mm] ebenfalls [mm] a^i [/mm] steht, dazu gucken wir sie uns genauer an:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1}
= a^{0+1} + a^{1+1} + ... + a^{n+1}
= a^{1} + a^{2} + ... + a^{n+1}
= \summe_{i=1}^{n+1}a^i[/mm]
Ich hoffe, das ist einigermaßen ersichtlich. Allgemein gilt:
Obere und untere Grenze müssen um den gleichen Wert nach "oben" (unten) korrigiert werden, dann müssen die Summanden aber nach "unten" (oben) angepasst werden.
Also könnte man auch schreiben:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1} = \summe_{i=0+17}^{n+17}a^{i+1-17} = \summe_{i=17}^{n+17}a^{i-16} [/mm]
Ich hoffe, die Indexverschiebung ist nu klar
Nun weiter zu deiner Aufgabe, wir hatten ja:
[mm]\summe_{i=0}^{n}a^{i+1} - \summe_{i=0}^{n}a^i = \summe_{i=1}^{n+1}a^{i} - \summe_{i=0}^{n}a^i [/mm]
Nun sind beide Summen identisch, bis auf den Anfangs- und Endindex.
Also bleibt von der ersten Summe nur der [mm]n+1[/mm]-te Summand stehen (alle anderen werden ja abgezogen) und bei der zweiten Summe bleibt nur [mm] a^0 [/mm] stehen, also gilt:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1}a^{i} - \summe_{i=0}^{n}a^i
= a^{n+1} - a^0
= a^{n+1} - 1[/mm]
Gruß.
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