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| Aufgabe | Wie lautet das allgemeine Glied der alternierenden Reihe?
[mm] -\bruch{1}{6}, +\bruch{1}{18}, -\bruch{1}{54}, +\bruch{1}{162}
[/mm]
Berechnen sie den Summenwert
s = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}
[/mm]
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hi
Für das allgemeine Glied habe ich
[mm] \bruch{1}{(-1)^{n} * (6*3^{n-1})}
[/mm]
Und den Summenwert einer Reihe bestimmt man doch mit
[mm] \bruch{1}{1 - q} [/mm] oder?
Also
[mm] \bruch{1}{1 - (-\bruch{1}{3})} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Ist das so richtig?
Vielen dank
Gruß
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Hallo Holy,
> Für das allgemeine Glied habe ich
>
> [mm]\bruch{1}{(-1)^{n} * (6*3^{n-1})}[/mm]
Also die Reihe [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{6\cdot{}3^{n-1}}
[/mm]
Das kannst du etwas umschreiben, dann "siehst" du den GW (Reihenwert) besser
[mm] =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2\cdot{}3\cdot{}3^{n-1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2\cdot{}3^n}=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^n
[/mm]
Das ist - wie du richtig erkannt hast - eine geometrische Reihe mit [mm] q=-\frac{1}{3} [/mm] , also $|q|<1$ , also ist das Teil konvergent
>
> Und den Summenwert einer Reihe bestimmt man doch mit
>
> [mm]\bruch{1}{1 - q}[/mm] oder? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Also
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> [mm]\bruch{1}{1 - (-\bruch{1}{3})}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
>
> Ist das so richtig?
> Vielen dank
> Gruß
Nicht ganz, beachte den Vorfaktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] und beachte auch, dass deine Reihe bei n=1 losgeht, der GW der geometrischen Reihe [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] für |q|<1 aber bei [mm] \red{n=0} [/mm] losläuft.
Du musst also den ersten Summanden noch abziehen...
Gruß
schachuzipus
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