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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 So 03.02.2019 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | | Gegeben seien n endliche Mengen [mm] $A_1, [/mm] ..., [mm] A_n$. [/mm] Sei [mm] $S_r [/mm] := [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{} |A_{i_1} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{i_r}|$ [/mm] |
Hallo,
ich scheitere daran, wie man den (genau so auf dem Papier stehenden) Ausdruck $ [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{}$ [/mm] liest. Ich weiß, dass [mm] $\summe_{k=m}^{n} [/mm] = [mm] \summe_{m \le k \le n}^{}$
[/mm]
Ich vermute, dass es so viel bedeutet wie "bei r=3 läuft der Index der Summe von 1 nach 2 nach 3".
[mm] $S_1 [/mm] = [mm] |A_1|$
[/mm]
[mm] $S_2 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2|$
[/mm]
[mm] $S_3 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$
[/mm]
[mm] $S_4 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|$
[/mm]
[mm] $S_5 [/mm] = ...$ und so fort
Kommt das hin?
Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Mo 04.02.2019 | | Autor: | Marc |
Hallo magics,
> Gegeben seien n endliche Mengen [mm]A_1, ..., A_n[/mm]. Sei [mm]S_r := \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{} |A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_r}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Müsste das nicht $1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}$ statt ${1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}$ lauten?
(Und evtl. auch sogar $1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n$? Meine Antwort ist allerdings nur für $1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}$.)
> ich scheitere daran, wie man den (genau so auf dem Papier
> stehenden) Ausdruck [mm]\summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{}[/mm]
> liest. Ich weiß, dass [mm]\summe_{k=m}^{n} = \summe_{m \le k \le n}^{}[/mm]
>
> Ich vermute, dass es so viel bedeutet wie "bei r=3 läuft
> der Index der Summe von 1 nach 2 nach 3".
Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck $ [mm] |A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|$ [/mm] (beachten die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge [mm] $\{1,\ldots,n\}$, [/mm] und wegen $1 [mm] \le i_1 \le i_2 \le [/mm] ... [mm] \le i_r \le [/mm] n$ der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte, dass z.B. [mm] $A_1\cap A_2$ [/mm] mehrfach betrachtet wird, denn [mm] $A_1\cap A_2=A_2\cap A_1$)
[/mm]
Z.B. ist für r=2 (und n=3)
[mm] $S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|$
[/mm]
>
> [mm]S_1 = |A_1|[/mm]
> [mm]S_2 = |A_1| + |A_1 \cap A_2|[/mm]
> [mm]S_3 = |A_1| + |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|[/mm]
>
> [mm]S_4 = |A_1| + |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|[/mm]
>
> [mm]S_5 = ...[/mm] und so fort
>
> Kommt das hin?
Nein, siehe mein Beispiel oben.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mo 04.02.2019 | | Autor: | magics |
Hallo Marc,
> Müsste das nicht [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}[/mm]
> statt [mm]{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}[/mm]
> lauten?
In der Tat, da hab ich mich beim notieren vertan..
> (Und evtl. auch sogar [mm]1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n[/mm]?
In der Formel steht es explizit mit [mm] $\le$. [/mm] Allerdings macht es, wenn ich dich richtig verstanden habe, wirklich keinen Sinn, da [mm] $|A_i \cap A_i| [/mm] = [mm] |\emptyset| [/mm] = 0$. Man könnte sich die leeren in der Summe also sparen, würde man die Ordnungsrelation $<$ benutzen.
> Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten
> beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck
> [mm]|A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|[/mm] (beachten
> die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge
> [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm], und wegen [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le n[/mm]
> der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte,
> dass z.B. [mm]A_1\cap A_2[/mm] mehrfach betrachtet wird, denn
> [mm]A_1\cap A_2=A_2\cap A_1[/mm])
>
> Z.B. ist für r=2 (und n=3)
>
> [mm]S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|[/mm]
Wunderbar! Ich halte nochmal fest für den Fall $r=2, n=3$:
[mm] $S_2 [/mm] := [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le 2}^{} |A_{i_1} \cap A_{i_2}|$
[/mm]
Man könnte also in Anlehnung an die Notation [mm] $\summe_{m \le k \le n}^{}$ [/mm] sagen, dass es für $r=2$ eben zwei Indices [mm] $i_1, i_2$ [/mm] gibt, wobei diese durch die Ordnungsrelation [mm] $\le$ [/mm] eingeschränkt werden.
Auf jeden Fall schonmal ein großes Dankeschön!
Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mo 04.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marc,
>
> > Müsste das nicht [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}[/mm]
> > statt [mm]{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}[/mm]
> > lauten?
>
> In der Tat, da hab ich mich beim notieren vertan..
>
> > (Und evtl. auch sogar [mm]1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n[/mm]?
>
> In der Formel steht es explizit mit [mm]\le[/mm]. Allerdings macht
> es, wenn ich dich richtig verstanden habe, wirklich keinen
> Sinn, da [mm]|A_i \cap A_i| = |\emptyset| = 0[/mm].
Das stimmt aber nicht ! Es ist [mm] A_i \cap A_i=A_i.
[/mm]
Daher ist " [mm] \le [/mm] " korrekt !
> Man könnte sich
> die leeren in der Summe also sparen, würde man die
> Ordnungsrelation [mm]<[/mm] benutzen.
>
> > Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten
> > beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck
> > [mm]|A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|[/mm] (beachten
> > die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge
> > [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm], und wegen [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le n[/mm]
> > der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte,
> > dass z.B. [mm]A_1\cap A_2[/mm] mehrfach betrachtet wird, denn
> > [mm]A_1\cap A_2=A_2\cap A_1[/mm])
> >
> > Z.B. ist für r=2 (und n=3)
> >
> > [mm]S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|[/mm]
>
> Wunderbar! Ich halte nochmal fest für den Fall [mm]r=2, n=3[/mm]:
>
> [mm]S_2 := \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le 2}^{} |A_{i_1} \cap A_{i_2}|[/mm]
>
> Man könnte also in Anlehnung an die Notation [mm]\summe_{m \le k \le n}^{}[/mm]
> sagen, dass es für [mm]r=2[/mm] eben zwei Indices [mm]i_1, i_2[/mm] gibt,
> wobei diese durch die Ordnungsrelation [mm]\le[/mm] eingeschränkt
> werden.
>
> Auf jeden Fall schonmal ein großes Dankeschön!
>
> Grüße
> Thomas
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