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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{1}{x(x+1)(x+2)} [/mm] und leiten Sie daraus eine Formel her für [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] |
Die Partialbruchzerlegung hab ich (denke ich) hinbekommen. Aber ich weiß nicht, wie ich damit den zweiten Teil der Aufgabe lösen soll.
[mm] \bruch{1}{x(x+1)(x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x+2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] (A+B+C)x^2 [/mm] + (3A+2B+C)x + 2A
[mm] \Rightarrow A=\bruch{1}{2} [/mm] B=-1 [mm] C=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{x(x+1)(x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{x} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{x+2}
[/mm]
Daraus habe ich jetzt folgendes geschlossen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{\bruch{1}{2}}{k} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{k+2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{\bruch{1}{2}}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{-1}{k+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{\bruch{1}{2}}{k+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+2}
[/mm]
Soweit so gut, aber wie geht's jetzt weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von
> [mm]\bruch{1}{x(x+1)(x+2)}[/mm] und leiten Sie daraus eine Formel
> her für [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)(k+2)}[/mm]
> Die
> Partialbruchzerlegung hab ich (denke ich) hinbekommen. Aber
> ich weiß nicht, wie ich damit den zweiten Teil der Aufgabe
> lösen soll.
>
> [mm]\bruch{1}{x(x+1)(x+2)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{x+2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)
> [mm]\gdw[/mm] 1 = [mm](A+B+C)x^2[/mm] + (3A+2B+C)x + 2A
> [mm]\Rightarrow A=\bruch{1}{2}[/mm] B=-1 [mm]C=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x(x+1)(x+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{x}[/mm] + [mm]\bruch{-1}{x+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{x+2}[/mm]
>
> Daraus habe ich jetzt folgendes geschlossen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)(k+2)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{\bruch{1}{2}}{k}[/mm]
> + [mm]\bruch{-1}{k+1}[/mm] + [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{k+2}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{\bruch{1}{2}}{k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{-1}{k+1}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{\bruch{1}{2}}{k+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}[/mm] -
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+2}[/mm]
>
> Soweit so gut, aber wie geht's jetzt weiter? Kann mir
> jemand einen Tipp geben?
Hallo,
schreibe die Summe mal nur für n=1 bis 3 (nicht bis unendlich) konkret auf (das sind insgesamt 9 Summanden) und schau, ob sich einzelne Summanden gegenseitig aufheben.
("Teleskopsumme")
Gruß Abakus
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