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| Aufgabe | Stellen Sie folgende Summen mit Hilfe des Summenzeichens dar und berechnen Sie die Summe von i), ii) und iii)
i) [mm] (x^{2}+3)+(x^{2}+7)+(x^{2}+11)+...+(x^{2}+8023)
[/mm]
ii) [mm] x^{6}-x^{9}+x^{12}-...+x^{300}
[/mm]
iii) [mm] \bruch{1}{81}x-\bruch{1}{27}x^{2}+\bruch{1}{9}x^{3}-...-243x^{10}
[/mm]
iv) 4*6+5*7+6*8+...+2005*2007 |
Hi zusammen,
bin hier auf eine Aufgabe gestoßen, mit der ich noch Probleme hab. Wäre nett wenn mal jemand drüberschaun könnte =)
Ich denke mal die Summendarstellung stimmt überall, nur wie berechne ich die Summe von ii) un iii)??
Hier mal meine bisherigen Lösungen:
i) [mm] x^{2}*(4+8+12+...+8024)
[/mm]
Anzahl der Summanden n=2006
also: [mm] x^{2}*\summe_{m=1}^{2006}4n
[/mm]
Mit der Formel [mm] s(n)=\bruch{n+1-m}{2}*(a(n)+(a(m)) [/mm] hab ich dann als Summe 8052084 raus. Müsste stimmen oder?
ii) Anzahl der Summanden n=99
also: [mm] \summe_{m=1}^{99}x^{6}*(-x^{3n-3})
[/mm]
Als Summe hab ich dann: [mm] x^{6}*\bruch{1+x^{297}}{1+x^{3}}
[/mm]
stimmt das so?
iii) Anzahl der Summanden n=10
also: [mm] \summe_{m=1}^{10}\bruch{1}{81}x*(-3x)^{n-1}
[/mm]
und als Summe hätte ich dann: [mm] \bruch{1}{81}x* \bruch{1-3x^{10}}{1+3x} [/mm] ???
iv) [mm] \summe_{m=4}^{2005}k*(k+2)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 06.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo Kaesebrot,
diese Folgen lassen sich alle mit Hilfe der Sumenformel für die arithmetische oder die geometrische Reihe berechnen.
Als Summenformeln habe ich gekriegt:
i) [mm] \sum_{k=0}^{2005} (x^2+3+4k) [/mm]
ii) [mm] \sum_{k=0}^{98} (-1)^k x^{6+3k}
[/mm]
ii) [mm] \frac{-1}{243} \sum_{k=1}^{10} (-1)^k (3x)^k
[/mm]
iv) [mm] \sum_{k=5}^{2006} [/mm] (k-1)(k+1)
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ok, vielen Dank für die schnelle Antwort.
Aber meine Summendarstellung müsste doch auch stimmen, oder?
zumindest bekomme ich damit mal die gleichen Summanden raus :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Käsebrot!
Diese Aufgabe hast Du leider nicht richtig gelöst. Hier mal die entsprechende Umformung:
[mm] $$(x^{2}+3)+(x^{2}+7)+(x^{2}+11)+...+(x^{2}+8023)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=1}^{2006}\left[x^2+3+(k-1)*4\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=1}^{2006}\left(x^2+3\right)+\summe_{k=1}^{2006}4*(k-1)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=1}^{2006}\left(x^2+3\right)+4*\summe_{k=1}^{2006}(k-1)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \green{\summe_{k=1}^{2006}\left(x^2+3\right)}+4*\red{\summe_{k=1}^{2006}k}-4*\blue{\summe_{k=1}^{2006}1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \green{2006*\left(x^2+3\right)}+4*\red{\bruch{2006*(2006+1)}{2}}-4*\blue{2006*1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 2006*x^2+6018+8052084-8024$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Käsebrot!
Aufgabe (iv) hast Du richtig gelöst.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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