Summenberechung mit Intervall < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.)Berechnen Sie [mm] \summe_{i=2}^{8}(x^i+i) [/mm] für [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
2.)Leiten Sie eine Formel für folgende Summe her: [mm] \summe_{i=1}^{n}(4i+7) [/mm] |
Hallo!
Ich habe einige Aufgaben vor mir komme aber nach laaaaaangem überlegen/recherchieren nicht weiter.
Zu 1. [mm] x^2+2+x^3+3+x^4+4..etc. [/mm] würde ich schreiben, stimmt aber nicht, wahrscheinlich wegen (für x (-1,1)) sieht nach einem Intervall aus, aber wie ich sich dadurch die Lösung ändert weiß ich nicht..
Bei der 2. habe ich keine Ahnung wie ich beginnen soll, die Lösung sollte ungefähr so aussehen n²+xy..
Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen, ich bemühe mich seid Stunden schon..
Schönen Gruß
M.C.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 So 24.09.2006 | | Autor: | ullim |
Zu 1.)
[mm] \summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i) [/mm] = [mm] \summe_{i=2}^{8}x^{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{8}i
[/mm]
[mm] \summe_{i=2}^{8}x^{î} [/mm] = [mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - x - 1 (geometrische Reihe)
[mm] \summe_{i=2}^{8}i [/mm] = [mm] \bruch{8}{2}*(8+1) [/mm] = 35 [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i) [/mm] = [mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - x - 1 + 35
ZU 2.)
[mm] \summe_{i=1}^{n}(4*i+7) [/mm] = [mm] 4*\summe_{i=1}^{n}i+ 7*\summe_{i=1}^{n}1
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*(n+1)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}1 [/mm] = n [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}(4*i+7) [/mm] = [mm] 4*\bruch{n}{2}*(n+1)+7*n
[/mm]
Beide Ergebnisse kann man noch vereinfachen.
Noch zur Erklärung sei [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
Beh. [mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*(n+1)
[/mm]
Beweist man mit vollständiger Induktion
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Ich verstehe beide Rechenwege bereits ab der jeweiligen, 2. Zeile nicht(mehr)!
Zu 2.) die Lösung scheint 2n²+9 zu sein.
Bei der 1.) habe ich [mm] 33-x-x^8 [/mm] <- was aber nicht der Lösung entspricht.
> Zu 1.)
>
>
> [mm]\summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i)[/mm] = [mm]\summe_{i=2}^{8}x^{i}[/mm] + [mm]\summe_{i=2}^{8}i[/mm]
Dieser Schrit ist mir noch klar rechnerisch (nur warum..?)..
>
> [mm]\summe_{i=2}^{8}x^{î}[/mm] = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - x - 1 (geometrische Reihe)
Da ist doch gar kein Index also [mm] x^i [/mm] , wie kommst du auf eine geometrische Reihe (gerade mit den Zahlen.?)
> [mm]\summe_{i=2}^{8}i[/mm] = [mm]\bruch{8}{2}*(8+1)[/mm] = 35 [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i)[/mm] = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - x - 1 +
> 35
>
>
> ZU 2.)
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(4*i+7)[/mm] = [mm]4*\summe_{i=1}^{n}i+ 7*\summe_{i=1}^{n}1[/mm]
Warum hast du die Summen getrennt?
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm]
Woher kommt das jetzt ?
> [mm]\summe_{i=1}^{n}1[/mm] = n [mm]\Rightarrow[/mm]
?
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(4*i+7)[/mm] = [mm]4*\bruch{n}{2}*(n+1)+7*n[/mm]
>
>
> Beide Ergebnisse kann man noch vereinfachen.
>
> Noch zur Erklärung sei [mm]s_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm]
>
> Beh. [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm]
>
> Beweist man mit vollständiger Induktion
Ich hoffe auf eine noch etwas detailliertere Lösung.
Mein Wissen um das Rechnen mit den Summenzeichen beschränkt sich auf (http://viles.zef.uni-oldenburg.de/navtest/viles1/kapitel01_Einf~~uehrung~~lund~~lGrundlagen/modul04_Rechnen~~lmit~~ldem~~lSummenzeichen/ebene01_Einf~~uehrung~~lund~~lDefinitionen/01__04__01__01.php3) Grundniveau
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 So 24.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi MacChevap,
> Ich verstehe beide Rechenwege bereits ab der jeweiligen, 2.
> Zeile nicht(mehr)!
>
> Zu 2.) die Lösung scheint 2n²+9 zu sein.
Das ist so korrekt.
>
> Bei der 1.) habe ich [mm]33-x-x^8[/mm] <- was aber nicht der Lösung
> entspricht.
>
>
[mm] \summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i) [/mm] = [mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - x - 1 + 35 = [mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - [mm] \bruch{x^2-1}{x-1} [/mm] +35
durch erweitern des zweiten Terms mit (x-1) und weiter durch zusammenfassen folgt
[mm] \bruch{x^2(x^7-1)}{x-1}+35
[/mm]
das ist dann wohl so weit fertig.
> > Zu 1.)
> >
> >
> > [mm]\summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i)[/mm] = [mm]\summe_{i=2}^{8}x^{i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=2}^{8}i[/mm]
> Dieser Schrit ist mir noch klar rechnerisch (nur
> warum..?)..
> >
Das habe ich gemacht um die Summen zu trennen und um sie dann danach einzeln zu berechnen,
weil die entstehenden Terme bekannten Summenformeln entsprechen.
> > [mm]\summe_{i=2}^{8}x^{î}[/mm] = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - x - 1
> (geometrische Reihe)
> Da ist doch gar kein Index also [mm]x^i[/mm] , wie kommst du auf
> eine geometrische Reihe (gerade mit den Zahlen.?)
Bei der [mm] \summe_{i=2}^{8}x^{i} [/mm] ist wohl der Exponent i bei x verloren gegangen. Aber nochmal im Detail
[mm] \summe_{i=2}^{8}x^{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{8}x^{i} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{1}x^{i}
[/mm]
Für die erste Summe gilt die Formel für die geometrische Reihe.
[mm] \summe_{i=0}^{n}x^{i} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n+1}-1}{x-1} [/mm]
D.h. es gilt für den speziellen Fall Deiner Aufgabe n = 8
Damit müsste jetzt die Formel klar werden.
[mm] \summe_{i=2}^{8}i [/mm] = 2+3+4+5+6+7+8 = 35 = [mm] \bruch{4}{2}*9-1 [/mm] s. Beweis unten
> > [mm]\summe_{i=2}^{8}i[/mm] = [mm]\bruch{8}{2}*(8+1)[/mm] = 35 [mm]\Rightarrow[/mm]
> >
> > [mm]\summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i)[/mm] = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - x - 1 +
> > 35
> >
> >
> > ZU 2.)
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}(4*i+7)[/mm] = [mm]4*\summe_{i=1}^{n}i+ 7*\summe_{i=1}^{n}1[/mm]
>
> Warum hast du die Summen getrennt?
S. Argument wie oben.
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm]
> Woher kommt das jetzt ?
Sei [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] dann gilt
[mm] s_{n+1} [/mm] = [mm] s_n [/mm] +(n+1)
Wenn für [mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*(n+1) [/mm] gilt folgt
[mm] s_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*(n+1) [/mm] + (n+1) = [mm] \bruch{n+1}{2}*(n+2) [/mm] Dieser Beweisschritt entspricht dem
Induktionsschritt von n auf n+1.
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}1[/mm] = n [mm]\Rightarrow[/mm]
> ?
[mm] \summe_{i=1}^{n}1 [/mm] summiert n-mal die 1, also 1+1+ .... + 1 = n
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}(4*i+7)[/mm] = [mm]4*\bruch{n}{2}*(n+1)+7*n[/mm]
> >
> >
> > Beide Ergebnisse kann man noch vereinfachen.
> >
> > Noch zur Erklärung sei [mm]s_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm]
> >
> > Beh. [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm]
> >
> > Beweist man mit vollständiger Induktion
>
> Ich hoffe auf eine noch etwas detailliertere Lösung.
Vielleicht reicht ja das. Im Mathe LK-13 muss man ja schon einiges selbst berechnen können.
>
> Mein Wissen um das Rechnen mit den Summenzeichen beschränkt
> sich auf
> (http://viles.zef.uni-oldenburg.de/navtest/viles1/kapitel01_Einf~~uehrung~~lund~~lGrundlagen/modul04_Rechnen~~lmit~~ldem~~lSummenzeichen/ebene01_Einf~~uehrung~~lund~~lDefinitionen/01__04__01__01.php3)
> Grundniveau
mfg ullim
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Hi!
> [mm]\summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i)[/mm] = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - x - 1 + 35
> = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - [mm]\bruch{x^2-1}{x-1}[/mm] +35
>
> durch erweitern des zweiten Terms mit (x-1) und weiter
> durch zusammenfassen folgt
>
> [mm]\bruch{x^2(x^7-1)}{x-1}+35[/mm]
>
> das ist dann wohl so weit fertig.
Da stimmt etwas nicht mit deinem Erweitern..die einzige Lösung mit 35 ist:
[mm] 35-x-\bruch{1-x^9}{1-x} [/mm] und das ist ja nicht äquivalent oder..?
Hatte lange Ferien, jetzt in der (Uni)-Vorbereitung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 24.09.2006 | | Autor: | ullim |
> Hi!
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> > [mm]\summe_{i=2}^{8}(x^{i}+i)[/mm] = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - x - 1 + 35
> > = [mm]\bruch{x^9-1}{x-1}[/mm] - [mm]\bruch{x^2-1}{x-1}[/mm] +35
> >
> > durch erweitern des zweiten Terms mit (x-1) und weiter
> > durch zusammenfassen folgt
> >
> > [mm]\bruch{x^2(x^7-1)}{x-1}+35[/mm]
> >
> > das ist dann wohl so weit fertig.
> Da stimmt etwas nicht mit deinem Erweitern..die einzige
> Lösung mit 35 ist:
>
[mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - x - 1 = [mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - [mm] (x+1)*\bruch{x-1}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^9-1}{x-1} [/mm] - [mm] \bruch{x^2-1}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^9-x^2}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^2(x^7-1)}{x-1}
[/mm]
> [mm]35-x-\bruch{1-x^9}{1-x}[/mm] und das ist ja nicht äquivalent
> oder..?
>
> Hatte lange Ferien, jetzt in der (Uni)-Vorbereitung.
Ist es jetzt klar?
mfg ullim
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