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| Aufgabe | Sind [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] zwei Teilräume eines vektorraums V, dann sind äquivalent
[mm] >W_1+W_2=V [/mm] und [mm] W_1 \cap W_2=\{0\}
[/mm]
>Zu je zwei linearen [mm] Abbildungen:\phi_1:W_1->U [/mm] und [mm] \phi_2:W_2 [/mm] ->U existiert genau eine lineare Abbildung [mm] \phi:V->U [/mm] so dass [mm] \phi|_{W_1}=\phi_1 [/mm] und [mm] \phi|_{W_2}=\phi_2.
[/mm]
[mm] \phi|_{W_1} [/mm] heißt [mm] \pi [/mm] eingeschränkt auf [mm] W_1 [/mm] |
2=>1
Bei mir beginnt der Beweis in Skriptum mit:
Nach Vorraussetzung existiert eine lineare ABbildung [mm] \pi_1:V->W_1 [/mm] mit [mm] {\pi_1}|_{W_1}=id_{W_1} [/mm] und [mm] {\pi_1}|_{W_2}=0.
[/mm]
Es exisiert auch eine lineare Abbildung [mm] \pi_2:V->W_2 [/mm] mit [mm] {\pi_2}|_{W_1}=0 [/mm] und [mm] {\pi_2}|_{W_2}=id_{W_2}
[/mm]
Aber das ist doch nicht die Vorraussetzung in 2), in 2) haben wir die Abbildungen [mm] \phi_1, \phi_2 [/mm] und [mm] \phi. [/mm] Wie kommen wir also auf [mm] \pi, [/mm] den Projektionen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sind [mm]W_1[/mm] und [mm]W_2[/mm] zwei Teilräume eines vektorraums V, dann
> sind äquivalent
> [mm]>W_1+W_2=V[/mm] und [mm]W_1 \cap W_2=\{0\}[/mm]
> >Zu je zwei linearen
> [mm]Abbildungen:\phi_1:W_1->U[/mm] und [mm]\phi_2:W_2[/mm] ->U existiert
> genau eine lineare Abbildung [mm]\phi:V->U[/mm] so dass
> [mm]\phi|_{W_1}=\phi_1[/mm] und [mm]\phi|_{W_2}=\phi_2.[/mm]
>
> [mm]\phi|_{W_1}[/mm] heißt [mm]\pi[/mm] eingeschränkt auf [mm]W_1[/mm]
> 2=>1
> Bei mir beginnt der Beweis in Skriptum mit:
> Nach Vorraussetzung existiert eine lineare ABbildung
> [mm]\pi_1:V->W_1[/mm] mit [mm]{\pi_1}|_{W_1}=id_{W_1}[/mm] und
> [mm]{\pi_1}|_{W_2}=0.[/mm]
> Es exisiert auch eine lineare Abbildung [mm]\pi_2:V->W_2[/mm] mit
> [mm]{\pi_2}|_{W_1}=0[/mm] und [mm]{\pi_2}|_{W_2}=id_{W_2}[/mm]
>
> Aber das ist doch nicht die Vorraussetzung in 2),
Nein. Vorausgesetzt ist:
$ [mm] W_1+W_2=V [/mm] $ und $ [mm] W_1 \cap W_2=\{0\} [/mm] $
Definiere die Abbildung [mm] \pi_1:V \to [/mm] V durch: ist v [mm] \in [/mm] V, so gibt es eindeutig bestimmte [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und [mm] w_2 \in W_2 [/mm] mit: v= [mm] w_1+ w_2. [/mm] Dann:
[mm] \pi_1(v):=w_1
[/mm]
FRED
> in 2)
> haben wir die Abbildungen [mm]\phi_1, \phi_2[/mm] und [mm]\phi.[/mm] Wie
> kommen wir also auf [mm]\pi,[/mm] den Projektionen?
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:20 Di 07.02.2012 | | Autor: | theresetom |
Nein so ist es nicht im SKriptum,(ich poste mal den ganzen teil)
Nach Vorraussetzung existiert eine lineare ABbildung $ [mm] \pi_1:V->W_1 [/mm] $ mit $ [mm] {\pi_1}|_{W_1}=id_{W_1} [/mm] $ und $ [mm] {\pi_1}|_{W_2}=0. [/mm] $
Es exisiert auch eine lineare Abbildung $ [mm] \pi_2:V->W_2 [/mm] $ mit $ [mm] {\pi_2}|_{W_1}=0 [/mm] $ und $ [mm] {\pi_2}|_{W_2}=id_{W_2} [/mm] $
> Wie gesagt, verstehe nicht wie man zu den Vorraussetzungen aus 3 kommt!
Daraus erhalten wir sofort [mm] W_1 \cap W_2 =\{0\} [/mm] denn für v [mm] \in W_1 \cap W_2 [/mm] folgt [mm] v={\pi_1}(v)=0.
[/mm]
Fassen wir [mm] \pi_1 [/mm] und [mm] \pi_2 [/mm] als lineare Abbildungen [mm] \pi_1:V->V [/mm] und [mm] \pi_2:V->V [/mm] auf,dann gilt für ihre Summe, [mm] \pi_1 [/mm] + [mm] \pi_2:V->V [/mm] nun [mm] {(\pi_1 + \pi_2)}|_{W_1}={id_v}|_{W_1} [/mm] und [mm] {(\pi_1 + \pi_2)}|_{W_2}={id_v}|_{W_2}. [/mm]
Aus der Eindeutigkeitsaussage von 2 folgt daher [mm] \pi_1 [/mm] + [mm] \pi_2= id_V. [/mm] Für jedes v [mm] \in [/mm] V erhalten wir somit [mm] v=id_v (v)=\pi_1 [/mm] (v) + [mm] \pi_2(v) [/mm] mit [mm] \pi_1(v) \in W_1 [/mm] und [mm] \pi_2(v) \in W_2, [/mm] also [mm] V=W_1+W_2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Di 07.02.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Nein so ist es nicht im SKriptum,(ich poste mal den ganzen
> teil)
Doch!
>
>
> Nach Vorraussetzung existiert eine lineare ABbildung
> [mm]\pi_1:V->W_1[/mm] mit [mm]{\pi_1}|_{W_1}=id_{W_1}[/mm] und
> [mm]{\pi_1}|_{W_2}=0.[/mm]
Das ist doch äquivalent zu der Konstruktion von [mm] $\pi_1$ [/mm] von Fred!
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Dann verstehe ich es nicht ^^
Also mache ich da eigentlich einen Beweis von 1=>2, wo ich 1 vorraussetzte?
Aber dann am Schluß des Beweises kommt ja die Aussage 1) raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dann verstehe ich es nicht ^^
> Also mache ich da eigentlich einen Beweis von 1=>2, wo ich
> 1 vorraussetzte?
> Aber dann am Schluß des Beweises kommt ja die Aussage 1)
> raus?
In Deinem Skript steht also das:
Nach Vorraussetzung existiert eine lineare ABbildung
$ [mm] \pi_1:V->W_1 [/mm] $ mit $ [mm] {\pi_1}|_{W_1}=id_{W_1} [/mm] $ und
$ [mm] {\pi_1}|_{W_2}=0. [/mm] $
Obiges macht aber nur Sinn, wenn [mm] W_1 \cap W_2 [/mm] = { 0 } ist. Stell Dir mal vor es gäbe ein x [mm] \in W_1 \cap W_2 [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0.
Aus $ [mm] {\pi_1}|_{W_1}=id_{W_1} [/mm] $ folgt dann: [mm] \pi_1(x)=x [/mm] und aus $ [mm] {\pi_1}|_{W_2}=0 [/mm] $ folgt [mm] \pi_1(x)=0. [/mm] Das ist Quark.
FRED
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Ja, das ist schon verstädnlich.
Also haben wir [mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] =V und [mm] W_1 \cap W_2 [/mm] = {0} vorrausgesetzt
Dann ist der vorgezeigte Beweis doch für 1=>2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das ist schon verstädnlich.
> Also haben wir [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] =V und [mm]W_1 \cap W_2[/mm] = {0}
> vorrausgesetzt
> Dann ist der vorgezeigte Beweis doch für 1=>2
Ja
FRED
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Ich hätte noch eine Frage dazu, warum dürfen wir dann an der einen Stelle die Eindeutigkeitsaussage von 2) verwenden? Ich hab gedacht, wir müssen sie zeigen?
> gilt für ihre Summe, $ [mm] \pi_1 [/mm] $ + $ [mm] \pi_2:V->V [/mm] $ nun $ [mm] {(\pi_1 + \pi_2)}|_{W_1}={id_v}|_{W_1} [/mm] $ und $ [mm] {(\pi_1 + \pi_2)}|_{W_2}={id_v}|_{W_2}. [/mm] $
> Aus der Eindeutigkeitsaussage von 2 folgt daher $ [mm] \pi_1 [/mm] $ + $ [mm] \pi_2= id_V. [/mm] > $ Für jedes v $ [mm] \in [/mm] $ V erhalten wir somit $ [mm] v=id_v (v)=\pi_1 [/mm] $ (v) + $ [mm] \pi_2(v) [/mm] $ mit $ [mm] \pi_1(v) \in W_1 [/mm] $ und $ [mm] \pi_2(v) \in W_2, [/mm] $ also $ [mm] V=W_1+W_2 [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 09.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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