Summe von a_k beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 30.05.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | beweisen sie folgende gleichung mit angegeben bedingungen
[mm] a_0, [/mm] d [mm] \in \mathbb{R} \hspace{15} [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} \newline \newline
[/mm]
[mm] a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd \newline \newline
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{n} a_k [/mm] = [mm] (n+1)(a_0 [/mm] + [mm] \frac{dn}{2}) [/mm] |
Eigene Ansätze sind nicht Zielführend:
[mm] \sum_{k=0}^{n} a_k
[/mm]
[mm] =(n+1)a_{(n-2)/2} [/mm]
[mm] =na_{(n-2)/2}+a_{(n-2)/2} \newline \newline [/mm]
=(n+1) [mm] a_{n/2} [/mm] + d [mm] \newline \newline [/mm]
[mm] =na_0 [/mm] + [mm] \frac{dn^2}{2} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] + [mm] \frac{dn}{2} \newline \newline
[/mm]
[mm] =\dfrac{4na_0+dn^{2+dn}}{2} \newline \newline
[/mm]
hat jemand einen kleinen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> beweisen sie folgende gleichung mit angegeben bedingungen
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> [mm]a_0,[/mm] d [mm]\in \mathbb{R} \hspace{15}[/mm] n [mm]\in \mathbb{N} \newline \newline[/mm]
>
>
> [mm]a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd \newline \newline[/mm]
Hier muß es lauten: [mm] $a_{k+1}= a_0+ [/mm] (k+1)d$
Somit: [mm] $a_k= a_0+kd$
[/mm]
Damit ist
[mm]\sum_{k=0}^{n} a_k= (n+1)a_0+d\sum_{k=0}^{n} k= (n+1)a_0+d* \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
FRED
>
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} a_k[/mm] = [mm](n+1)(a_0[/mm] + [mm]\frac{dn}{2})[/mm]
> Eigene Ansätze sind nicht Zielführend:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} a_k[/mm]
>
> [mm]=(n+1)a_{(n-2)/2}[/mm]
>
> [mm]=na_{(n-2)/2}+a_{(n-2)/2} \newline \newline[/mm]
>
>
> =(n+1) [mm]a_{n/2}[/mm] + d [mm]\newline \newline[/mm]
>
>
> [mm]=na_0[/mm] + [mm]\frac{dn^2}{2}[/mm] + [mm]a_0[/mm] + [mm]\frac{dn}{2} \newline \newline[/mm]
>
>
> [mm]=\dfrac{4na_0+dn^{2+dn}}{2} \newline \newline[/mm]
>
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> hat jemand einen kleinen Tipp?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Mo 30.05.2011 | | Autor: | elmanuel |
hey danke für die rasche antwort fred!
diesmal sieht es ja tatsächlich so aus als wäre die angabe aus dem buch falsch ...
aber ich werde mir das morgen mal in ruhe ansehen, hab heute kein kopf mehr dafür ...
melde mich dann wenn der knoten in meinem kopf gelöst ist :)
gut n8
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 31.05.2011 | | Autor: | elmanuel |
Also ich habe hier mal den genauen Wortlaut der Angabe abgetippt:
Beweisen Sie die Summenformel für die arithmetische Reihe: Seien
[mm] a_0 [/mm] und d in [mm] \mathbb{R} [/mm] fix gegeben und setzen Sie [mm] a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd. [/mm] Zeigen Sie, dass für alle natürlichen N gilt, dass [mm] \newline \newline
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{n} a_k [/mm] = [mm] (n+1)(a_0 [/mm] + [mm] \frac{dn}{2}).
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{n} a_k [/mm] = [mm] (n+1)(a_0 [/mm] + [mm] \frac{dn}{2}) \newline
[/mm]
wenn ich davon ausgehe: [mm] a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd
[/mm]
und dann für k=0 einsetze, erhalte ich [mm] a_1=a_0+d=a_0+0d \Rightarrow [/mm] d=0
für a1: [mm] a_2=a_1+d=a0+d [/mm] n [mm] \Rightarrow a_k=a_{k+1}=a_{n}=a_0
[/mm]
somit wäre [mm] \sum_{k=0}^{n} a_k [/mm] trivialerweise [mm] (n+1)a_k
[/mm]
nun unter dieser voraussetzung jetzt zum beweis:
für n=0:
[mm] a_0 =(1)(a_0+d/2)
[/mm]
[mm] a_0=a_0 \Rightarrow [/mm] w.A.
Induktionsschritt:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} a_k [/mm] = [mm] (n+1)a_k [/mm] + [mm] a_{n+1}
[/mm]
nachdem [mm] a_k=a_0=a_n+1 [/mm] und d=0
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} a_k [/mm] = [mm] (n+1)a_0 [/mm] + [mm] a_{0}=(n+2)(a_0) [/mm] = [mm] ((n+1)+1)(a_0+ \frac{d(n+1)}{2})
[/mm]
qed?
-----------------------------------------------------------
wenn man jetzt, wie du schön gesehen hast fred, davon ausgeht das:
[mm] a_{k+1}= a_0+(k+1)d \Rightarrow a_k= a_0+kd
[/mm]
dann kann ist ganze Beispiel logischer und man kann den beweis richtigerweise wie folgt führen:
für n=0:
[mm] a_0 =(1)(a_0+d/2)
[/mm]
[mm] a_0=a_0 \Rightarrow [/mm] w.A.
[mm] \sum_{k=0}^{n} a_k [/mm] = [mm] (n+1)(a_0 [/mm] + [mm] \frac{dn}{2})
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} a_k [/mm] = [mm] (n+2)a_0+d\sum_{k=0}^{n+1} [/mm] k = [mm] (n+2)a_0+d \frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+2)(a_0+ \frac{d(n+1)}{2})
[/mm]
qed!
was sagst du dazu fred?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe hier mal den genauen Wortlaut der Angabe
> abgetippt:
>
> Beweisen Sie die Summenformel für die arithmetische Reihe:
> Seien
> [mm]a_0[/mm] und d in [mm]\mathbb{R}[/mm] fix gegeben und setzen Sie
> [mm]a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd.[/mm] Zeigen Sie, dass für alle
> natürlichen N gilt, dass [mm]\newline \newline[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} a_k[/mm] = [mm](n+1)(a_0[/mm] + [mm]\frac{dn}{2}).[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} a_k[/mm] = [mm](n+1)(a_0[/mm] + [mm]\frac{dn}{2}) \newline[/mm]
>
>
> wenn ich davon ausgehe: [mm]a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd[/mm]
>
> und dann für k=0 einsetze, erhalte ich [mm]a_1=a_0+d=a_0+0d \Rightarrow[/mm]
> d=0
>
> für a1: [mm]a_2=a_1+d=a0+d[/mm] n [mm]\Rightarrow a_k=a_{k+1}=a_{n}=a_0[/mm]
>
> somit wäre [mm]\sum_{k=0}^{n} a_k[/mm] trivialerweise [mm](n+1)a_k[/mm]
>
> nun unter dieser voraussetzung jetzt zum beweis:
>
> für n=0:
>
> [mm]a_0 =(1)(a_0+d/2)[/mm]
> [mm]a_0=a_0 \Rightarrow[/mm] w.A.
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} a_k[/mm] = [mm](n+1)a_k[/mm] + [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> nachdem [mm]a_k=a_0=a_n+1[/mm] und d=0
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} a_k[/mm] = [mm](n+1)a_0[/mm] + [mm]a_{0}=(n+2)(a_0)[/mm] =
> [mm]((n+1)+1)(a_0+ \frac{d(n+1)}{2})[/mm]
>
> qed?
>
>
> -----------------------------------------------------------
>
>
> wenn man jetzt, wie du schön gesehen hast fred, davon
> ausgeht das:
>
> [mm]a_{k+1}= a_0+(k+1)d \Rightarrow a_k= a_0+kd[/mm]
>
> dann kann ist ganze Beispiel logischer und man kann den
> beweis richtigerweise wie folgt führen:
>
> für n=0:
>
> [mm]a_0 =(1)(a_0+d/2)[/mm]
Hä ? Es muß lauten: [mm]a_0 =(1)(a_0+0*d/2)[/mm]
> [mm]a_0=a_0 \Rightarrow[/mm] w.A.
>
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} a_k[/mm] = [mm](n+1)(a_0[/mm] + [mm]\frac{dn}{2})[/mm]
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} a_k[/mm] = [mm](n+2)a_0+d\sum_{k=0}^{n+1}[/mm] k =
> [mm](n+2)a_0+d \frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+2)(a_0+ \frac{d(n+1)}{2})[/mm]
Wie kommst Du auf das erste "=" ? Du machst doch gar keinen Induktionsbeweis ! Du verwendest, wie ich in meiner ersten Antwort, die Formel
$1+2+...+n= [mm] \bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
FRED
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> qed!
>
> was sagst du dazu fred?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 31.05.2011 | | Autor: | elmanuel |
ja stimmt ... ich habe mich da verschaut ... und ja ich habe die gaussche summenformel als gegeben verwendet...
vollständige induktion war hier wohl nicht notwendig oder?
ich bin halt blutiger anfänger und weis noch nicht so recht welche technik wann anzuwenden ist... :)
was hältst du von dem beweis wenn man die angabe im buch als richtig annimmt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn
$ [mm] a_{k+1}=a_k+d=a_0+kd \newline \newline [/mm] $
so ist d=0 und [mm] a_0=a_1=...=a_n [/mm] und somit ist
$ [mm] \sum_{k=0}^{n} a_k [/mm] $ = $ [mm] (n+1)(a_0 [/mm] $ + $ [mm] \frac{dn}{2}) [/mm] $
eine Trivialität.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 31.05.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke!
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