Summe von Radikalidealen < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 14.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich soll ein Beispiel für 2 Radikalideale ($I = [mm] \sqrt{I}$) [/mm] finden, deren Summe kein Radikalideal ist. Ich habe leider keine Ahnung, wo ich anfangen soll zu suchen. Ich habe mal angefangen in [mm] \IZ [/mm] zu suchen und gemerkt, dass da alle Primideale Radikalideale sind. Wegen [mm] a\IZ+b\IZ=ggt(a,b)\IZ [/mm] wollte ich also 2 Zahlen a und b so suchen, dass ggt(a,b) nicht prim ist, aber [mm] a\IZ [/mm] und [mm] b\IZ [/mm] Radikalideale sind. Ich wollte z.B. einen ggt von 4 haben, da [mm] 4\IZ [/mm] kein Radikalideal ist. Aber ich habe bis jetzt noch keine Zahlen a,b gefunden, sodass [mm] a\IZ [/mm] und [mm] b\IZ [/mm] Radikalideale wären. Kann es sein, dass [mm] a\IZ [/mm] genau dann ein Radikalideal ist, falls a prim ist? Dann könnte ich ja direkt aufhören in [mm] \IZ [/mm] zu suchen.
Hat jemand dann noch einen anderen Suchort parat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 14.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich soll ein Beispiel für 2 Radikalideale ([mm]I = \sqrt{I}[/mm])
> finden, deren Summe kein Radikalideal ist. Ich habe leider
> keine Ahnung, wo ich anfangen soll zu suchen. Ich habe mal
> angefangen in [mm]\IZ[/mm] zu suchen und gemerkt, dass da alle
> Primideale Radikalideale sind. Wegen [mm]a\IZ+b\IZ=ggt(a,b)\IZ[/mm]
> wollte ich also 2 Zahlen a und b so suchen, dass ggt(a,b)
> nicht prim ist, aber [mm]a\IZ[/mm] und [mm]b\IZ[/mm] Radikalideale sind. Ich
> wollte z.B. einen ggt von 4 haben, da [mm]4\IZ[/mm] kein
> Radikalideal ist. Aber ich habe bis jetzt noch keine Zahlen
> a,b gefunden, sodass [mm]a\IZ[/mm] und [mm]b\IZ[/mm] Radikalideale wären.
> Kann es sein, dass [mm]a\IZ[/mm] genau dann ein Radikalideal ist,
> falls a prim ist?
Nein; in Hauptidealbereichen -- also auch in [mm] $\IZ$ [/mm] -- ist ein Ideal $(a)$ genau dann radikal, wenn $a$ quadratfrei ist.
Das wiederum zeigt aber auch, dass du in Hauptidealbereichen nicht weiter suchen brauchst: dort gilt immer $(a) + (b) = (ggT(a, b))$, womit die Summe von Radikalidealen immer ein Radikalideal ist.
(In faktoriellen Ringen sind Hauptideale uebrigens auch genau dann radikal, wenn ihr Erzeuger quadratfrei ist.)
> Hat jemand dann noch einen anderen Suchort parat?
In $K[x, y]$ kannst du Gegenbeispiele finden. Du kannst zwei passende Hauptideale addieren, so dass ein nicht-Radikalideal wie [mm] $(x^2, [/mm] y)$ herauskommt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 14.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Hinweise! Ich suche jetzt dort auch schon eine Weile, aber ich finde einfach nichts. Es wäre natürlich [mm] (x^2)+(y)=(x^2,y), [/mm] aber [mm] (x^2) [/mm] ist ja kein Radikalideal. Und ich weiß nicht, wie ich sonst auf z.B. [mm] (x^2,y) [/mm] kommen soll.
Ich werde wohl noch ein bisschen rumprobieren. Ich mag diese Beispiel-find-Aufgaben irgendwie nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 14.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Hinweise! Ich suche jetzt dort auch schon
> eine Weile, aber ich finde einfach nichts. Es wäre
> natürlich [mm](x^2)+(y)=(x^2,y),[/mm] aber [mm](x^2)[/mm] ist ja kein
> Radikalideal. Und ich weiß nicht, wie ich sonst auf z.B.
> [mm](x^2,y)[/mm] kommen soll.
Anstelle [mm] $(x^2)$ [/mm] kannst du ja das Ideal anschauen, welches von [mm] $x^2 [/mm] + f(y)$ erzeugt wird fuer irgendein $f(y) [mm] \in [/mm] (y)$. Wenn du $f$ passend waehlst, ist [mm] $(x^2 [/mm] + f(y))$ prim.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 So 14.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Ah, ich hatte wohl Tomaten auf den Augen. Nun sehe ich es, vielen Dank!
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