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| Aufgabe | Hier ist mal wieder so eine meiner verrückten Ideen:
Zeigen Sie, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}0.5^{4n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}0.5^{4n+1} [/mm] = 0.1 |
Auf diese Aufgabe bin durch Aufgabe Nr. 813905 (#4 Unfaire Münze) von kamaleonti und dessen Lösung von Al-Chwarizmi gekommen.
Oder anders ausgedrückt: Sofern die Lösung von Al-Chwarizmi richtig ist, dann muss auch die obige Formel richtig sein. Mit seinem Diagramm hat Al-Chwarizmi die Formel quasi schon bewiesen
Aber wie würde man das normalerweise "beweisen" ?
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Hallo,
stichwort ist summe von geometrischen Reihen
[mm] $\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^{4k} \rightarrow \frac{\frac{1}{16}}{1- \frac{1}{16}}= \frac{1}{15}$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^{4k+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2})^{4k} \rightarrow \frac{1}{30}$ [/mm] für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm]
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:27 Do 28.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo kushkush,
die Korrekturmitteilung, die hier stand, ist gegenstandslos und beruhte auf einem Lesefehler meineseits.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Fr 29.07.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Durch Probieren mit diversen Zahlen habe ich rausgefunden, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}p^{an+b} [/mm] = [mm] \bruch{p^{a+b}}{1-p^{a}} [/mm] für a>0 und 0 [mm] \le [/mm] p <1
In obigem Fall wäre p=0.5, a=4 und b=0 bzw. b=1
Gibt es eigentlich Einschränkungen für b ?
Das habe ich nicht mehr untersucht.
Naja, bestimmt ist die obige Formel sowieso schon allgemein bekannt und hunderttausend Mal von Studenten "bewiesen" worden.
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> Durch Probieren mit diversen Zahlen habe ich rausgefunden,
> dass
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}p^{an+b}[/mm] = [mm]\bruch{p^{a+b}}{1-p^{a}}[/mm]
> für a>0 und 0 [mm]\le[/mm] p <1
>
> In obigem Fall wäre p=0.5, a=4 und b=0 bzw. b=1
>
> Gibt es eigentlich Einschränkungen für b ?
Hallo,
nein.
Es ist doch [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}p^{an+b}$=p^b*$\summe_{n=1}^{\infty}p^{an}$.
[/mm]
> Das habe ich nicht mehr untersucht.
>
> Naja, bestimmt ist die obige Formel sowieso schon allgemein
> bekannt und hunderttausend Mal von Studenten "bewiesen"
> worden.
Du könntest es unter (unendliche) geometrische Reihe nachlesen:
Für |q|<1 gilt [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q}, [/mm] also folglich [mm] \summe_{i=\red{1}}^{\infty}q^i=\bruch{q}{1-q}.
[/mm]
Aber das schmälert ja überhaupt nicht Deine Forschungsleistung!
Gruß v. Angela
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Ist denn
[mm]\bruch{p^{a+b}}{1-p^{a}} [/mm] [mm] \not=[/mm] [mm]p^b*\summe_{n=1}^{\infty}p^{an}[/mm]
Wenn meine Formel falsch ist, dann wäre das ja reiner Zufall, weil ich dann meine Zahlen zufällig so ausgewählt hätte, das die Formel zufällig hinkommt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 29.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist denn
>
> [mm]\bruch{p^{a+b}}{1-p^{a}}[/mm] [mm]\not=[/mm]
> [mm]p^b*\summe_{n=1}^{\infty}p^{an}[/mm]
Nein, es ist [mm]\bruch{p^{a+b}}{1-p^{a}}[/mm] [mm]=[/mm] [mm]p^b*\summe_{n=1}^{\infty}p^{an}[/mm] für [mm] $|p^a|<1
[/mm]
FRED
>
> Wenn meine Formel falsch ist, dann wäre das ja reiner
> Zufall, weil ich dann meine Zahlen zufällig so ausgewählt
> hätte, das die Formel zufällig hinkommt
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Fr 29.07.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Also war meine Formel doch richtig.
Nur hatte ich sie anders formuliert als "üblich"
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> Durch Probieren mit diversen Zahlen habe ich rausgefunden,
> dass
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}p^{an+b}[/mm] = [mm]\bruch{p^{a+b}}{1-p^{a}}[/mm]
> für a>0 und 0 [mm]\le[/mm] p <1
>
> In obigem Fall wäre p=0.5, a=4 und b=0 bzw. b=1
>
> Gibt es eigentlich Einschränkungen für b ?
Man müsste nur darauf achten, dass im Fall $p=0$ die
Exponenten [mm] a\,n+b [/mm] und $a+b$ nicht negativ werden können,
weil dann die entsprechenden Potenzen nicht definiert
wären. Der Fall $p=0$ ist ja aber ohnehin nicht sonderlich
spannend ...
> Das habe ich nicht mehr untersucht.
>
> Naja, bestimmt ist die obige Formel sowieso schon allgemein
> bekannt und hunderttausend Mal von Studenten "bewiesen"
> worden.
Man könnte die Summe so schreiben:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}p^{a\,n+b}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{p^b}_K*\summe_{n=1}^{\infty}\left(\underbrace{p^a}_q\right)^n\ [/mm] =\ [mm] K*\underbrace{\summe_{n=1}^{\infty}q^n}_S$ [/mm]
Wichtig ist dabei, dass [mm] |q|=|p^{a}|<1 [/mm] ist, damit
[mm] $\limes_{n\to\infty}q^n\ [/mm] =\ 0$
Dann gilt $\ S-q*S\ =\ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}q^n\ [/mm] -\ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}q^n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{n=1}^{1}q^n\ [/mm] =\ q$
und damit $\ S\ =\ [mm] \frac{q}{1-q}$ [/mm] .
Einsetzen liefert dann das Ergebnis
$\ K*S\ =\ [mm] p^b*\frac{p^{a}}{1-p^{a}}\ [/mm] =\ [mm] \frac{p^{a+b}}{1-p^{a}}$
[/mm]
LG Al
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