Summe von Kuben < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Sa 02.07.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Summe zweier Kubikzahlen im
allgemeinen keine Primzahl ist ! |
Der Ansatz liegt ja auf der Hand, nur an der Durchführung haperts:
Ich mache Fallunterscheidungen, sage einmal:
I [mm] $(2k)^3 [/mm] + ( 2k+1) ^3 $
II [mm] $(2k+1)^3 [/mm] + [mm] (2k+1)^3 [/mm] $
III [mm] $(2k+1)^3+(2k)^3 [/mm] $
IV [mm] $(2k)^3 [/mm] + [mm] (2k)^3 [/mm] $
Meine Idee ist es, dass ich diese vier Fälle aufschreibe und alles ausrechne. Jeder Ausdruck lässt sich dann problemlos faktorisieren, womit die Behauptung gezeigt wäre.
Mein Problem ist jedoch, dass die Faktoriesung mir nur durch ein Computeralgebrasystem gelungen ist; ich wüßte wirklich nicht, wie man etwa folgendes sieht:
$ [mm] 8k_2^3+12k_2^2+6k_2+1+8k_1^3 [/mm] = [mm] (2k_1+2k_2+1)\cdot((4k_1^2-2k_1)\cdot(2k_2+1)+ (2k+1)^2)$ [/mm]
(dies entspräche meinem Fall I)
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir erklärt, wie die Computeralgebrasystem in blitzesschnelle diese Faktorisierug bekommen. Ich habe mich bemüht, und komme auch bei etwas geschickterem Herausheben niemals alleine auf diese Faktorisierung.
Ich frage mich nun echt: Sind Computer in ihrer Intelligenz den meisten Menschen (auch Mathematikern) überlegen? Oder setzen diese nur in eine Formel ein, die wir noch nicht gelernt haben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Sa 02.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass die Summe zweier Kubikzahlen im
> allgemeinen keine Primzahl ist !
> Der Ansatz liegt ja auf der Hand, nur an der Durchführung
> haperts:
>
> Ich mache Fallunterscheidungen, sage einmal:
> I [mm](2k)^3 + ( 2k+1) ^3[/mm]
> II [mm](2k+1)^3 + (2k+1)^3[/mm]
> III [mm](2k+1)^3+(2k)^3[/mm]
> IV [mm](2k)^3 + (2k)^3[/mm]
>
> Meine Idee ist es, dass ich diese vier Fälle aufschreibe
> und alles ausrechne. Jeder Ausdruck lässt sich dann
> problemlos faktorisieren, womit die Behauptung gezeigt
> wäre.
> Mein Problem ist jedoch, dass die Faktoriesung mir nur
> durch ein Computeralgebrasystem gelungen ist; ich wüßte
> wirklich nicht, wie man etwa folgendes sieht:
> [mm]8k_2^3+12k_2^2+6k_2+1+8k_1^3 = (2k_1+2k_2+1)\cdot((4k_1^2-2k_1)\cdot(2k_2+1)+ (2k+1)^2)[/mm]
> (dies entspräche meinem Fall I)
>
> Ich würde mich freuen, wenn ihr mir erklärt, wie die
> Computeralgebrasystem in blitzesschnelle diese
> Faktorisierug bekommen. Ich habe mich bemüht, und komme
> auch bei etwas geschickterem Herausheben niemals alleine
> auf diese Faktorisierung.
>
> Ich frage mich nun echt: Sind Computer in ihrer Intelligenz
> den meisten Menschen (auch Mathematikern) überlegen? Oder
> setzen diese nur in eine Formel ein, die wir noch nicht
> gelernt haben?
>
Hallo,
es sollte bekannt sein, dass sich [mm] a^3-b^3 [/mm] zu [mm] (a-b)(a^2+ab+b^2) [/mm] faktorisieren lässt.
Ersetze nun b durch -c, so erhältst du
[mm] a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2).
[/mm]
Ist deine letzter Frage ernst gemeint???
Ein Computer ist nur ein Idiot, der zwischen Null und Eins unterscheiden kann (das allerdings sehr schnell).
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich frage mich nun echt: Sind Computer in ihrer Intelligenz
> den meisten Menschen (auch Mathematikern) überlegen? Oder
> setzen diese nur in eine Formel ein, die wir noch nicht
> gelernt haben?
Computer sind nicht intelligent, sie tun nur genau das was man ihnen gesagt hat. Aber darin sind sie dann ziemlich flott. Wenn du wissen willst, wie man multivariate Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten faktorisieren kann, schau etwa ![[]](/images/popup.gif) hier. Nur: das von Hand durchzufuehren ist sehr umstaendlich.
LG Felix
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