Summe über ein Skalarprodukt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 16.05.2013 | | Autor: | Fincayra |
Hi,
ich kann mir das grad irgendwie nicht ganz vorstellen. Eine Summe über ein Skalarprodunkt, wie zum Beispiel
[mm] \summe_{i=1}^{r}
[/mm]
Das Skalarprodukt an sich wäre ausgeschrieben ja schon
[mm] =v_1 w_1 [/mm] + ... + [mm] v_n w_n
[/mm]
Mit der Summe zusammen endet das im "Indizechaos", oder? Also es müsste sein
[mm] \summe_{i=1}^{r} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{r} (v_1 v_i_1 [/mm] + ... + [mm] v_n v_i_n) [/mm] = [mm] v_1 v_1_1 [/mm] + [mm] v_1 v_1_2 [/mm] +...+ [mm] v_1 v_1_r [/mm] + [mm] v_2 v_1_2 [/mm] .....
Wirklich? Oder bastel ich mir da grad Blödsinn zusammen?
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Hiho,
> Das Skalarprodukt an sich wäre ausgeschrieben ja schon
> [mm]=v_1 w_1[/mm] + ... + [mm]v_n w_n[/mm]
wo steht, dass das euklidische Skalarprodukt verwendet wird?
Es gibt viele mögliche Skalarprodukte.
Im reellen Fall ist das Skalarprodukt doch linear, auch in der zweiten Komponente. Was bedeutet das, wenn die erste Komponente immer gleich bleibt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 16.05.2013 | | Autor: | Fincayra |
Mh, ich bin ein wenig verwirrt *rot wird*
Also als Aufgabe steht: "Sei V ein endlich-dimensionaler [mm] \IK [/mm] Vektorraum mit Skalarprodukt <.,.> und [mm] v_1 [/mm] , ... , [mm] v_r [/mm] eine orthonormale Familie (d.h. [mm]
Wenn die erste Komponente immer gleich bleibt, sollte man sie ausklammern können. Aber so ganz weiß ich noch nichts damit anzufangen. Also okay, mein Indizechaos kann man sicherlich noch umschreiben (ich hab übrigens die n und r ein wenig vermischt, pass ich gleich mal an...) aber wenn das hingeschriebene richtig ist, wär es schonmal gut. Den Rest kann ich mir dann schon (hoffentlich) denken : )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 16.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mh, ich bin ein wenig verwirrt *rot wird*
>
> Also als Aufgabe steht: "Sei V ein endlich-dimensionaler
> [mm]\IK[/mm] Vektorraum mit Skalarprodukt <.,.> und [mm]v_1[/mm] , ... , [mm]v_r[/mm]
> eine orthonormale Familie (d.h. [mm]
> [mm]\begin{cases} 1, i = j \\ 0, i \not= j \end{cases}[/mm] ).
> Zeigen Sie: Es sind äquivalent: [...]"
>
> Wenn die erste Komponente immer gleich bleibt, sollte man
> sie ausklammern können. Aber so ganz weiß ich noch nichts
> damit anzufangen.
warum nicht? [mm] $\sum_{i=1}^r \langle v,v_i\rangle\;=\;\langle v,\sum_{i=1}^r v_i\rangle\,.$ [/mm] Das folgt aus der ![[]](/images/popup.gif) Bilinearität.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Do 16.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich kann mir das grad irgendwie nicht ganz vorstellen. Eine
> Summe über ein Skalarprodunkt, wie zum Beispiel
>
> [mm]\summe_{i=1}^{r} [/mm]
Ich glaube, dass Du davon ausgehst, dass die [mm] v_i [/mm] die Koordinaten von v sind.
Das ist hier sicher nicht der Fall.
FRED
>
> Das Skalarprodukt an sich wäre ausgeschrieben ja schon
> [mm]=v_1 w_1[/mm] + ... + [mm]v_n w_n[/mm]
>
> Mit der Summe zusammen endet das im "Indizechaos", oder?
> Also es müsste sein
>
> [mm]\summe_{i=1}^{r} [/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{r} (v_1 v_i_1[/mm] +
> ... + [mm]v_n v_i_n)[/mm] = [mm]v_1 v_1_1[/mm] + [mm]v_1 v_1_2[/mm] +...+ [mm]v_1 v_1_r[/mm] +
> [mm]v_2 v_1_2[/mm] .....
>
> Wirklich? Oder bastel ich mir da grad Blödsinn zusammen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 16.05.2013 | | Autor: | Fincayra |
> Ich glaube, dass Du davon ausgehst, dass die [mm]v_i[/mm] die
> Koordinaten von v sind.
>
> Das ist hier sicher nicht der Fall.
>
> FRED
Ya aber genau das nicht. Deswegen sind es ja so viele indizes. v = [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] und [mm] v_i [/mm] ist ehm... na ja der vektor v der aufsummiert wird, oder wie soll ich ihn beschreiben. Das sollten ja die [mm] v_i_1 [/mm] bis [mm] v_i_r [/mm] sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 16.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich glaube, dass Du davon ausgehst, dass die [mm]v_i[/mm] die
> > Koordinaten von v sind.
> >
> > Das ist hier sicher nicht der Fall.
> >
> > FRED
>
> Ya aber genau das nicht. Deswegen sind es ja so viele
> indizes. v = [mm](v_1,...,v_n)[/mm] und [mm]v_i[/mm] ist ehm... na ja der
> vektor v der aufsummiert wird, oder wie soll ich ihn
> beschreiben. Das sollten ja die [mm]v_i_1[/mm] bis [mm]v_i_r[/mm] sein.
was willst Du denn nun? Natürlich kannst Du die Aussage auch beispielhaft
für das Standardskalarprodukt untersuchen und das alles mal hinschreiben -
wenn Dir langweilig ist.
Seien etwa [mm] $v=\vektor{\tilde{v}_1 \\\tilde{v}_2 \\ .\\.\\.\\\tilde{v}_n} \in \IR^n$ [/mm] und die [mm] $v_k=\vektor{v_{1,k}\\v_{2,k}\\.\\.\\.\\v_{n,k}} \in \IR^n$ [/mm] so, dass die Familie [mm] $(v_1,...,v_r)$ [/mm] eine orthonormale
Familie ist, wobei [mm] $\langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^n x_k\,y_k$ [/mm] meinetwegen auch speziell das Standardskalarprodukt
auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] ist [mm] ($x,y,v,v_k \in \IR^n$ [/mm] in Koordinatenvektorschreibweise bzgl. der euklidischen
Standardbasis).
Und dann ist meinetwegen auch für diesen Sonderfall
[mm] $$\sum_{i=1}^r \langle v,v_i\rangle\;=\;\sum_{i=1}^r \sum_{\ell=1}^n \tilde{v}_\ell*v_{\ell,i}$$
[/mm]
und das ist auch
[mm] $$=\sum_{\ell=1}^n \tilde{v}_\ell*\sum_{i=1}^r v_{\ell,i}$$
[/mm]
(Warum? Was zeigt eigentlich diese Gleichheit hier?)
Das ist alles schön und gut - aber warum willst Du überhaupt diesen
SPEZIALFALL hier behandeln? Der wird ja eh in dem allgemeineren
Ergebnis, welches Du beweisen sollst, mitenthalten sein.
P.S. Übrigens habe ich - Dank Freds aufmerksamen Kommentar - mal für
diesen speziellen Fall "die obigen Koordinaten von [mm] $v\,$ [/mm] mit [mm] $\tilde{v}_j$" [/mm]
bezeichnet - anfangs hatte ich sie mit [mm] $v_j$ [/mm] anstatt [mm] $\tilde{v}_j$ [/mm] bezeichnet,
was natürlich schlecht war, weil die Variablen [mm] $v_j$ [/mm] schon für Vektoren standen...
(Auch, wenn man hier dann hätte sagen können: Aus dem jeweiligen Zshg. müßte
doch klar sein...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Do 16.05.2013 | | Autor: | Fincayra |
Mh, ich blick grad echt nicht durch. Ich wollte den Zettel gerne morgen abgeben, allerdings werd ich es mir wohl nochmal in Ruhe durch den kopf gehen lassen müssen....
Danke auf jeden Fall schonmal : )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Do 16.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mh, ich blick grad echt nicht durch. Ich wollte den Zettel
> gerne morgen abgeben, allerdings werd ich es mir wohl
> nochmal in Ruhe durch den kopf gehen lassen müssen....
ich hab' da noch was korrigiert (wegen der sonstigen Doppeldeutigkeit
der [mm] $v_j$'s). [/mm] Sag' doch einfach mal, wie die eigentliche Aufgabe lautet(e)...
Gruß,
Marcel
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