matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionSumme n über k
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Summe n über k
Summe n über k < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Summe n über k: Gleichung Summe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 07:49 Do 25.05.2017
Autor: b.reis

Aufgabe
Lösen Sie folgende Gleichung für n [mm] \in \IN [/mm]

[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

unter Verwendung der folgenden Gleichungen

[mm] \vektor{k \\ k+1}=0 [/mm] und

[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k}) [/mm]

Hallo


Die gesamten Schritte schreibe ich nicht hin, denn ich habe nur eine Frage zum letzten Schritt.


Am Ende steht da
Letzter Schritt der Gleichung

[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}- \summe_{i=k}^{n-1}\vektor{i+1 \\ k+1}^{ \*}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

Mit einer Indexverschiebung sieht das so aus:

[mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k+1}^{ \*} [/mm]

---> [mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}- \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k+1}* [/mm]


[mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i+1 \\ k+1}- \vektor{i \\ k+1}) [/mm]
=
[mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i \\ k+1} [/mm]
=
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

Kann das richtig sein? Ich verstehe nur nicht warum ich wieder auf den Term vom Anfang [mm] \summe_{i=k}^{n}(\vektor{i \\ k+1} [/mm] zurück soll außer, dass ich die beiden Gleichungen benutzt habe (hier nicht gezeigt aber sie führen zu dem angegebenen vorletzten Term).

Vielen Dank
Benni

        
Bezug
Summe n über k: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Do 25.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

könntest du deine Frage einmal noch auf Fehler überprüfen (z.B.: wo ist da die angekündigte Indexverschiebung?) und in eine lesbare Form bringen?


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Summe n über k: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mo 29.05.2017
Autor: HJKweseleit


> Lösen Sie folgende Gleichung für n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> [mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
>  
> unter Verwendung der folgenden Gleichungen
>  
> [mm]\vektor{k \\ k+1}=0[/mm] und
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k})[/mm]




Tatsächlich reicht [mm]\vektor{k \\ k+1}=0[/mm] nicht aus, denn wenn z.B. k=7 ist, taucht in der letzten Zeile in

[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1} [/mm] als erstes der Summand [mm] \vektor{2\\ 8} [/mm] auf, der sich nicht als [mm] \vektor{k \\ k+1} [/mm] darstellt. [mm] \vektor{2\\ 8} [/mm] wäre aber gar nicht definiert.

Tatsächlich gilt: [mm] \vektor{a\\ b}=0, [/mm] falls b>a (a,b [mm] \in \IN_0). [/mm]

Nun folgt ganz leicht aus der letzten Zeile:

[mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i+1 \\ k+1}=\summe_{i=1}^{n}(\vektor{i \\ k+1}+\vektor{i \\ k})[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k}=\summe_{i=1}^{n} \vektor{i + 1\\ k+1}-\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k + 1}= (Indexverschiebung) \summe_{i=1}^{n} \vektor{i + 1\\ k+1}-\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{i + 1 \\ k + 1}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}-\vektor{ 1 \\ k + 1}[/mm],

also [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}-\vektor{ 1 \\ k + 1}[/mm].

Da links die Summanden für i<k alle 0 sind (s. meine Vorbemerkung) und der letzte Subtrahend für k>0 ebenfalls, lässt sich das schreiben als

[mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}=\vektor{n + 1 \\ k + 1}[/mm].


Für k=0 verschwindet der Subtrahend nicht. Dafür gilt:

[mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{i \\ 0}=\summe_{i=0}^{n} [/mm] (1) = n + 1 = [mm] \vektor{n+1 \\ 0 + 1}. [/mm] Also ist das auch für k=0 richtig.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]