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Summe konv. Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Sa 02.05.2009
Autor: Denny22

Hallo an alle,

Seien [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$, $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(c_n)_{n\in\IN}$ [/mm] drei reelle Zahlenfolgen.

1. Bekanntlich gilt die Implikation:
     [mm] $a_n\rightarrow a\in\IR$, $b_n\rightarrow b\in\IR$ $\Longrightarrow$ $a_n+b_n\rightarrow [/mm] a+b$

2. Gilt auch die folgende Implikation? Falls nicht, wäre es schön, wenn mir jemand ein Gegenbeispiel geben könnte:
     [mm] $c_n\rightarrow c\in\IR$ [/mm] und [mm] $c_n=a_n+b_n$ $\Longrightarrow$ $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] beide konvergent

Danke und Gruß

        
Bezug
Summe konv. Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Sa 02.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo an alle,
>  
> Seien [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm], [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm]
> drei reelle Zahlenfolgen.
>  
> 1. Bekanntlich gilt die Implikation:
> [mm]a_n\rightarrow a\in\IR[/mm], [mm]b_n\rightarrow b\in\IR[/mm]
> [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]a_n+b_n\rightarrow a+b[/mm]
>  
> 2. Gilt auch die folgende Implikation? Falls nicht, wäre es
> schön, wenn mir jemand ein Gegenbeispiel geben könnte:
> [mm]c_n\rightarrow c\in\IR[/mm] und [mm]c_n=a_n+b_n[/mm] [mm]\Longrightarrow[/mm]
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] beide konvergent

Hallo,

na, da haben sich Deine Schützlinge wohl wieder etwas einfallen lassen...

[mm] a_n:=(-1)^n [/mm]

[mm] b_n:=(-1)^{n+1}. [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Summe konv. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:13 Sa 02.05.2009
Autor: Denny22

Hallo,
  

> na, da haben sich Deine Schützlinge wohl wieder etwas
> einfallen lassen...

das stimmt, sieht danach aus. Ich habe es mir auch nicht vorstellen können und war daher auf der Suche nach einem Gegenbeispiel. Leider habe ich keines gefunden. Aber Dein Gegenbeispiel ist absolut einleuchtend. Danke für den Tipp.

> [mm]a_n:=(-1)^n[/mm]
>  
> [mm]b_n:=(-1)^{n+1}.[/mm]
>  
> Gruß v. Angela

Gruß Denny

Bezug
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