Summe komplexer Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Skipper |
Hi Ihrs,
Ich hab Probleme mit folgenden Aufgaben, die ich bearbeiten muss.
Wie soll ich folgendes Beweisen?
(a) Sei [mm] N\in\IN. [/mm] Zeigen sie, dass für alle komplexen Zahlen z mit [mm] |z|\le [/mm]
[mm] \bruch{N+1}{2} [/mm] gilt:
| [mm] \summe_{\nu=N}^{ \infty} \bruch{z^{\nu}}{\nu!}| \le 2\bruch{|z|^{N}}{N!}
[/mm]
(vor dem Summenzeichen und nach dem ersten Bruch sollen Betragsstriche stehn, sie sind vielleicht nur schwer zu erkennen)
(b) Bestimmen Sie (mit Beweis und ohne Verwendung ihres Rechners) die
ersten beiden Nachkommastellen von
[mm] \summe_{\nu=0}^{ \infty} \bruch{(-2)^{\nu}}{\nu!}.
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weriterhelfen.
Auf jeden Fall vielen Dank,
Skipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 06.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| [mm] \le \frac{N+1}{2}$, [/mm] also: [mm] $\frac{|z|}{N+1} \le \frac{1}{2}$:
[/mm]
[mm] $\left\vert \sum\limits_{\nu = N}^{\infty} \frac{z^{\nu}}{\nu!} \right\vert$
[/mm]
[mm] $\le \frac{|z|^N}{N!} \cdot \sum\limits_{\nu=N}^{\infty} \left( \frac{|z|}{N+1} \right)^{\nu - N}$
[/mm]
$= [mm] \frac{|z|^N}{N!} \cdot \sum\limits_{\nu=0}^{\infty} \left( \frac{|z|}{N+1} \right)^{\nu}$
[/mm]
[mm] $\le \frac{|z|^N}{N!} \cdot \sum\limits_{\nu=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{\nu}$
[/mm]
$= 2 [mm] \frac{|z|^N}{N!}$.
[/mm]
Beim zweiten Teil wollen wir erst einmal ein paar Ansätze von dir sehen... 
Viele Grüße
Julius
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