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| Aufgabe | | Summe der Reihe berechnen: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2 - 1} [/mm] |
Hallo an alle!
Habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Ich habe partialbruchzerlegt zu:
[mm] \bruch{1}{4n^2 - 1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{2n + 1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{2n - 1}
[/mm]
Nun habe ich die Koeffizienten A und B ausgerechnet:
A = - [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] B = + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist dieser Ansatz so korrekt?
Aber wie kriege ich nun die Summe, also den Grenzwert heraus? Ich weiß durch Eingabe in den Taschenrechner, dass dieser + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wäre, aber ich kann es nicht zeigen.
Hat jemand eine Idee?
Danke + Gruß -PHANTOMIAS-
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Hallo PHANTOMIAS,
> Summe der Reihe berechnen: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2 - 1}[/mm]
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> Hallo an alle!
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> Habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Ich habe
> partialbruchzerlegt zu:
> [mm]\bruch{1}{4n^2 - 1}[/mm] = [mm]\bruch{A}{2n + 1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{2n - 1}[/mm]
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> Nun habe ich die Koeffizienten A und B ausgerechnet:
> A = - [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] B = [mm] +\bruch{1}{2} [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Ist dieser Ansatz so korrekt?
Ja!!
> Aber wie kriege ich nun die Summe, also den Grenzwert
> heraus? Ich weiß durch Eingabe in den Taschenrechner, dass
> dieser + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wäre, aber ich kann es nicht zeigen.
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> Hat jemand eine Idee?
Du hast also [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2 - 1}=\summe_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2n+1}+\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{2n-1}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n+1}\right)$
[/mm]
Der Grenzwert/Reihenwert ist der limes der Partialsummen, also
[mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{k} \left(\bruch{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\left(\underbrace{\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n+1}}_{=S_k}\right)$
[/mm]
Nun schreibe dir mal solch eine k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] hin.
Du wirst sehen, das ist eine schöne Teleskopsumme, in der sich fast alles weghebt.
Dann mache den Grenzübergang [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Dann haste es schon - die [mm] \frac{1}{2} [/mm] nachher nicht vergessen 
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für die Antwort!
Okay, ich bilde mal die Partialsummen:
[mm] (1-\bruch{1}{3}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{7})
[/mm]
Ich sehe somit, dass sich alles "wegkürzt", außer die 1.
Also bleibt die 1 stehen * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber wie kann ich mathematischer vorgehen, also ohne ausprobieren?
Gruß -PHANTOMIAS-
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Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort!
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> Okay, ich bilde mal die Partialsummen:
> [mm](1-\bruch{1}{3})[/mm] + [mm](\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{5})[/mm] +
> [mm](\bruch{1}{5}[/mm] - [mm]\bruch{1}{7})[/mm]
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> Ich sehe somit, dass sich alles "wegkürzt", außer die 1.
> Also bleibt die 1 stehen * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
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> Aber wie kann ich mathematischer vorgehen, also ohne
> ausprobieren?
Naja, du solltest ne allgemeine $k-te$ Partialsumme aufschreiben und nicht nur beispielhaft die für $k=3$
Also [mm] $S_k=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+....+\left(\frac{1}{2k-3}-\frac{1}{2k-1}\right)+\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$
[/mm]
[mm] $=1-\frac{1}{2k+1}\longrightarrow [/mm] 1$ für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Also ist der Reihenwert [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}1=\frac{1}{2}$
[/mm]
Wenn du das so allgemein machst, finde ich das schon "mathematisch" und nicht "ausprobiert"
LG
schachuzipus
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Mir ist zwar noch nicht klar wie du auf die letzten beiden Summanden kommst, aber das kriege ich sicherlich noch heraus.
Also $ [mm] S_k=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+....+\left(\frac{1}{2k-3}-\frac{1}{2k-1}\right)+\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) [/mm] $
Vielen Dank! Gruß -PHANTOMIAS-
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Hi,
das sind die Summanden für $n=k-1$ und n=$k$
Wir hatten ja [mm] $S_k=\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$
[/mm]
Das ergibt für den vorletzten Summanden, also für $n=k-1$ :
[mm] $\left(\frac{1}{2(k-1)-1}-\frac{1}{2(k-1)+1}\right)=\left(\frac{1}{2k-3}-\frac{1}{2k-1}\right)$
[/mm]
Analog für den letzten Summanden (für $n=k$)
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 04.11.2007 | | Autor: | PHANTOMIAS |
Okay, jetzt habe ich es verstanden. Das sind die letzten beiden Summanden der Reihe.
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß -PHANTOMIAS-
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