Summe einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 26.11.2006 | | Autor: | levrone |
| Aufgabe | best. sie den wert der reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n^+^1*7^-^n [/mm] |
hy
der wert dieser reihe ist 1/8
[mm] s_n=1/7-1/7^2+1/7^3-1/7^4
[/mm]
aber wie kann ich das mathematisch begründen? muss/kann man dazu eine rechnung aufschreiben?
DANKE
mfg
levrone
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
führe es zurück auf die geometrische Reihe, in dem du den positiven und negativen Anteil getrennt ausrechnest.
Gruß
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 26.11.2006 | | Autor: | levrone |
danke
wie bringt mich die "auflösung" in pos und neg. zu dem ergebnis 1/8?
mfg
levrone
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Moin
es gibt da diese tolle Formel:
[mm] \summe_{i=s}^{\infty}a*q^k [/mm] = [mm] a*q^s*\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Jetzt guckst du dir dein ausdruck an und formst ihn so um das er in das schema [mm] \summe_{i=s}^{\infty}a*q^k [/mm] passt. dann wedest du es an und vola: 1/8
( $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n^+^1\cdot{}7^-^n [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{(-1)}{7})^{n}* [/mm] -1 $ , -1^(n+1) = [mm] (-1)^n*-1 [/mm] )
viel erfolg noch mit den Summen ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 26.11.2006 | | Autor: | levrone |
danke
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{(-1)}{7})^{n}\cdot{} [/mm] -1 $
wie kommt man davon auf 1/8?
das verteh ich immer noch nicht...
dankeschon im voraus...
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$ [mm] \summe_{i=s}^{\infty}a\cdot{}q^k [/mm] $ = $ [mm] a\cdot{}q^s\cdot{}\bruch{1}{1-q} [/mm] $
[mm] \bruch{-1}{7} [/mm] ist dein q, s=1 und a= (-1)
einsetzt, zusammenfasssen, fertig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 26.11.2006 | | Autor: | levrone |
vielen dank!!!
ich war etwas verwirrt ;)
woher kommt die formel?
ich hab die nicht in meinem skriptum, welches ich jetzt beim durchsuchen fast zerfetzt habe, gefunden...
ich hab die noch nie gesehen...
danke nochmals! einen schönen sonntag noch...
mfg
levrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 26.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo levrone!
Etwas bekannter ist die Formel für die geometrische Reihe in der folgenden Form:
[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_1*q^{k-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$ [/mm] für $|q| \ < \ 1$
Diese ergibt sich (für $|q| \ < \ 1$) aus der Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] der endlichen Summe:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_1*q^{k-1} [/mm] \ = \ [mm] a_1*\bruch{q^n-1}{q-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 26.11.2006 | | Autor: | levrone |
danke
wenn ich aber jetzt hier meine werte einsetzte
$ [mm] s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_1\cdot{}q^{k-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q} [/mm] $
...komme ich auf -7/8 ?
wieso?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 26.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo levrone!
[mm] $(-1)^{n+1}*7^{-n} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^1*(-1)^n*\bruch{1}{7^n} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*(-1)^n*\left(\bruch{1}{7}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\left(-\bruch{1}{7}\right)^n$
[/mm]
Und nun [mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\left(-\bruch{1}{7}\right)^1 [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{7}$ [/mm] sowie $q \ = \ [mm] -\bruch{1}{7}$ [/mm] in o.g. Formel einsetzen.
Gruß
Loddar
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