Summe einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 16.11.2006 | | Autor: | Carlchen |
| Aufgabe | | Man berechne die Summe (d.h. Grenzwert) der Reihe [mm] \sum_{n=2}^{\infty} \bruch {1} {n^2 -1} [/mm] |
Hallo Leute,
habt ihr vielleicht einen Tipp, wie ich bei der Reihe die Summe rausbekomme bzw. wie und wo ich ansetzen soll?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Fr 17.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Carlchen
> Man berechne die Summe (d.h. Grenzwert) der Reihe
> [mm]\sum_{n=2}^{\infty} \bruch {1} {n^2 -1}[/mm]
> Hallo Leute,
Um eine endliche Summe zu berechnen
[mm]\summe_{k=f}^{n}a_k[/mm]
müssen wir [mm]a_k[/mm] zelegen:
[mm]a_k =b_{k+1}-b_k[/mm]
[mm]
\summe_{k=f}^{n}a_k=\summe_{k=f}^{n}(b_{k+1}-b_k)
=b_{f+1}-b_f+b_{f+2}-b_{f+1}+\cdots +b_{n}-b_{n-1}+b_{n+1}-b_{n}
=b_{n+1}-b_{f}
[/mm]
In unserem Fall:
[mm]
a_k=\bruch{1}{k^2-1}=\bruch{1}{(k+1)(k-1)}
=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right)
=\bruch{1}{2}\left( \left( \bruch{1}{k-1}+\bruch{1}{k}\right)
-\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1}\right)\right)
[/mm]
[mm]
\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{2}\left( \left( \bruch{1}{k-1}+\bruch{1}{k}\right)
-\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1}\right)\right)
=\bruch{1}{2}\left( \left( \bruch{1}{2-1}+\bruch{1}{2}\right)
-\left( \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}\right)\right)
[/mm]
Du musst ein bischen umformen und limes nehmen, was für dich kein Problem sein dürfte.
Wenn du Unklarheiten oder Fragen hast, melde dich nochmal! 
Schöne Grüße, galileo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Carlchen |
Hallo galileo,
du hast mir damit wirklich sehr weitergeholfen. Da wär ich, denk ich, nicht so schnell drauf gekommen.
Vielen Dank.
Gruß Carlchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Carlchen |
Hi galileo,
ich hab dann doch noch eine Frage, vielleicht aber auch einfach nur einen Denkfehler. Du sagtest, dass wir
[mm] \summe_{k=f}^{n} a_k [/mm]
zerlegen in:
[mm]a_k = b_{k+1} - b_k [/mm]
Um letztendlich:
[mm] \summe_{k=f}^{n}(b_{k+1} - b_k) = b_{n+1} - b_f [/mm]
zu bekommen.
Im Ergebnis von dir, sollte dann:
[mm]\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{2}\left( \underbrace{\left( \bruch{1}{k-1}+\bruch{1}{k}\right)}_{b_{k+1}} - \underbrace{\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1}\right)}_{b_k}\right) [/mm]
sein.
Das haut aber nicht hin.
[mm]b_k[/mm] und [mm]b_{k+1}[/mm] müssten genau vertauscht sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hi Carlchen
Sehr gut beobachtet! Die Vertauschung ist nur ein Minuszeichen vor der Summe, und das Enderbnis wird dadurch auch vertauscht.
Ich freue mich, dass ich dir helfen konnte.
Gruss, galileo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Carlchen |
Jap dann haut's hin.
Danke nochmals, galileo.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Rudy |
Hallo.
> > Man berechne die Summe (d.h. Grenzwert) der Reihe
> > [mm]\sum_{n=2}^{\infty} \bruch {1} {n^2 -1}[/mm]
> > Hallo Leute,
>
> Um eine endliche Summe zu berechnen
Wieso übertragen wir das auf das System der endlichen Summe? n soll doch bis unendlich gehen ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> In unserem Fall:
> [mm]
[mm] a_k=\bruch{1}{k^2-1}=\bruch{1}{(k+1)(k-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right)
[/mm]
Halt. Das verstehe ich nicht, wie kommt man darauf, dass
[mm] \br{1}{(k+1)(k-1)} [/mm] das gleiche ist wie [mm] \br{1}{2}(\br{1}{k-1}-\br{1}{k+1})
[/mm]
Für den rest der antwort gibts aber ein großes Lob an den galileo. Nur fehlt mir das gewisse vorwissen! Daher die Rückfragen.
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
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> > > Man berechne die Summe (d.h. Grenzwert) der Reihe
> > > [mm]\sum_{n=2}^{\infty} \bruch {1} {n^2 -1}[/mm]
> > >
>
> Wieso übertragen wir das auf das System der endlichen
> Summe? n soll doch bis unendlich gehen
Hallo,
es ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] .
Der Gedanke war, zunächst [mm] \sum_{n=2}^{m} \bruch [/mm] {1} [mm] {n^2 -1} [/mm] in eine gut zu handhabende Form zu bringen und dann den Grenzwert derselben zu berechnen.
>
>
>wie kommt man darauf, dass
[mm]\br{1}{(k+1)(k-1)}[/mm] das gleiche ist wie [mm]\br{1}{2}(\br{1}{k-1}-\br{1}{k+1})[/mm]
Darauf kommen tut man, weil man entweder gut rechnen kann oder es schon oft gemacht hat oder es sich in der Vorlesung vom Prof. abgeschaut hat.
Sehen, daß es stimmt, tut man, indem man [mm] \br{1}{2}(\br{1}{k-1}-\br{1}{k+1}) [/mm] auf den Hauptnenner bringt und ausrechnet.
Gruß v. Angela
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