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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n - 1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] konvergent ist, und bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. |
Hallo,
ich habe mir hierzu etwas überlegt, frage mich aber, ob das formal richtig ist.
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1}.
[/mm]
Es ist [mm] \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{(n - 1)^2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{n^2(1 - \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2})}}, [/mm] also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{ \limes_{n\rightarrow\infty} n^2(1 - \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \wurzel{n}.
[/mm]
Mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] ist dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] = 0.
Jetzt hierzu zwei Fragen:
1) Ist die Schreibweise
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n}
[/mm]
.. oder muss hinter dem = immer ein konstanter Ausdruck bzw [mm] \infty [/mm] stehen? Ich könnte natürlich schreiben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
... aber damit kann ich ja dann nicht weiterrechnen.
2) In meinem Skript steht die verwendete Regel [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] unter "Rechenregeln für konvergente Folgen". Wenn ich das richtig sehe, dann ist [mm] \wurzel{n} [/mm] aber nicht konvergent, oder? Oder gibt es sowas wie "Konvergenz gegen unendlich"? Leider sehe ich mit dem Arsenal aus dem Skript keine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen. Oder gibt es da noch etwas Einfacheres?
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
> Es ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}[/mm] - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1}.[/mm]
Das stimmt schon mal nicht.
Du wendest hier einen Grenzwertsatz an, dieser gilt aber nur, falls die Einzelgrenzwerte existieren und endlich sind.
Das ist hier nicht der Fall.
> Es ist [mm]\wurzel{n - 1}[/mm] = [mm]\wurzel{\wurzel{(n - 1)^2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\wurzel{n^2(1 - \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2})}},[/mm]
> also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\wurzel{ \limes_{n\rightarrow\infty} n^2(1 - \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2})}}[/mm] = [mm]\wurzel{n}.[/mm]
Dass das Schmu ist, siehst du schon an folgendem: Die linke Seite [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1} [/mm] $ hängt nicht mehr von $n$ ab, die rechte [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] hingegen schon. Daher können die nicht gleich sein.
> 1) Ist die Schreibweise
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\wurzel{n}[/mm]
>
> .. oder muss hinter dem = immer ein konstanter Ausdruck bzw
> [mm]\infty[/mm] stehen? Ich könnte natürlich schreiben
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> ... aber damit kann ich ja dann nicht weiterrechnen.
Damit hast du das Problem der Aufgabe korrekt erkannt.
Ja, [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n$ [/mm] ist immer ein fester Ausdruck, sofern [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n$ [/mm] existiert.
> 2) In meinem Skript steht die verwendete Regel
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] + [mm]b_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] unter "Rechenregeln für
> konvergente Folgen". Wenn ich das richtig sehe, dann ist
> [mm]\wurzel{n}[/mm] aber nicht konvergent, oder?
Korrekt.
> Oder gibt es sowas wie "Konvergenz gegen unendlich"?
Ja, das nennt sich "bestimmt divergent", allerdings gelten dafür nicht alle Rechenregeln ungeprüft weiter.
Ausdrücke wie [mm] $\infty [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] oder [mm] $\infty\cdot\infty$ [/mm] sind kein Problem, andere wie [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] oder [mm] $0\cdot\infty$ [/mm] hingegen schon.
> Leider sehe ich mit dem Arsenal aus dem Skript keine andere Möglichkeit die
> Aufgabe zu lösen. Oder gibt es da noch etwas Einfacheres?
Du hast im Kern die Lösung schon "gesehen". [mm] $\sqrt{n-1}$ [/mm] verhält sich für große n annähernd wie [mm] $\sqrt{n}$, [/mm] so dass als Grenzwert Null zu erwarten wäre.
Das Problem bei der Aufgabe ist ja die Differenz aus zwei Wurzeln wohingegen die Summe zweiter Wurzeln kein Problem wäre, da käme schlicht [mm] +\infty [/mm] raus.
Wie löst man das nun?
Den Trick solltest du dir merken: Erweitere solche Ausdrücke mit [mm] $\sqrt{\cdot} [/mm] + [mm] \sqrt{\cdot}$ [/mm] und schau, was passiert.
Gruß,
Gono
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Hilf mir bitte noch ein Bisschen auf die Sprünge. Womit soll ich den Ausdruck erweitern [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n - 1} [/mm] konkret erweitern (damit er unverändert bleibt)?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Do 29.10.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hilf mir bitte noch ein Bisschen auf die Sprünge. Womit
> soll ich den Ausdruck erweitern [mm]\wurzel{n}[/mm] - [mm]\wurzel{n - 1}[/mm]
> konkret erweitern (damit er unverändert bleibt)?
Hallo Sancho,
hilft Dir das weiter:
$ [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \frac{(\wurzel{n} - \wurzel{n - 1})(\wurzel{n} + \wurzel{n - 1})}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}}=\frac{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}}$
[/mm]
Merk Dir diesen Trick !
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Ok verstehe.
Und um jetzt den Grenzwert von [mm] \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}} [/mm] zu bestimmen, kann ich jetzt schreiben:
Aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \infty [/mm] folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1} [/mm] = [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] = 0.
Oder ist da noch was falsch dran bzw. gibt es noch eine eingängigere Schreibweise?
Gruß und Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Do 29.10.2020 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ok verstehe.
> Und um jetzt den Grenzwert von [mm]\bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}}[/mm]
> zu bestimmen, kann ich jetzt schreiben:
>
>
> Aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1}[/mm] = [mm]\infty[/mm] folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}[/mm] + [mm]\wurzel{n - 1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n - 1}[/mm] = [mm]\infty[/mm] +
> [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm] also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0.
>
> Oder ist da noch was falsch dran bzw. gibt es noch eine
> eingängigere Schreibweise?
Ob das so in Ordnung ist, hängt ein bißchen von deinem Lernniveau ab. Ganz grundsätzlich rechnet man nicht so einfach mit [mm] $\infty$ [/mm] herum. Andererseits hat Gonozal dir das oben ja nahegelegt.
Wenn du ganz penibel vorgehen wolltest, würdest du dir z. B. überlegen, daß [mm]\bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n - 1}} \le \bruch{1}{2 \cdot \wurzel{n - 1}} [/mm] ist und dann mit Epsilontik weitermachen.
Gruß
Dieter
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Ja genau deswegen frag ich ja auch, weil mir beim Rechnen mit [mm] \infty [/mm] nicht ganz wohl ist. Schon meine Mathelehrerin in der Schule hat uns immer ermahnt, nicht mit [mm] \infty [/mm] zu rechnen. Andererseits sehe ich sowas auch immer mal wieder in seriöser Fachliteratur ...
Ich denke, genau so wie du vorschlägst ist die Aufgabe gemeint. Allerdings ist mir nicht klar, wieso du ausgerechnet die Majorante [mm] \bruch{1}{2\wurzel{n - 1}} [/mm] vorschlägst, denn [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] ist doch einfacher und konvergiert auch gegen 0, oder seh ich wieder mal was falsch?
Ich hab hier glatt noch eine analoge Aufgabe, die ich jetzt folgendermaßen gelöst habe. Es geht wieder um die Grenzwertbestimmung, diesmal von
[mm] \wurzel{n^2 + n} [/mm] - n
Wenn ich jetzt wieder Trick 17 anwende, lande ich bei [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{n^2 + n}}{n} + 1} [/mm] = ... = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} + 1} \to \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das ok so?
Gruß & Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:21 Fr 30.10.2020 | | Autor: | fred97 |
> Ja genau deswegen frag ich ja auch, weil mir beim Rechnen
> mit [mm]\infty[/mm] nicht ganz wohl ist. Schon meine Mathelehrerin
> in der Schule hat uns immer ermahnt, nicht mit [mm]\infty[/mm] zu
> rechnen. Andererseits sehe ich sowas auch immer mal wieder
> in seriöser Fachliteratur ...
>
> Ich denke, genau so wie du vorschlägst ist die Aufgabe
> gemeint. Allerdings ist mir nicht klar, wieso du
> ausgerechnet die Majorante [mm]\bruch{1}{2\wurzel{n - 1}}[/mm]
> vorschlägst, denn [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] ist doch einfacher
> und konvergiert auch gegen 0, oder seh ich wieder mal was
> falsch?
Du siehst nichts falsch.
>
> Ich hab hier glatt noch eine analoge Aufgabe, die ich jetzt
> folgendermaßen gelöst habe. Es geht wieder um die
> Grenzwertbestimmung, diesmal von
>
> [mm]\wurzel{n^2 + n}[/mm] - n
>
> Wenn ich jetzt wieder Trick 17 anwende, lande ich bei
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n^2 + n}}{n} + 1}[/mm] = ... =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} + 1} \to \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist das ok so?
ja, es ist ok
>
> Gruß & Danke,
> Martin
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