Summe definiert? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir Gedanken gemacht ob die folgende Gleichung für i=0 definiert ist:
[mm]x = a + \summe_{i=0}^{i-1} (k+i) [/mm]
Oder anders gefragt, ist es richtig anzunehmen, dass der Summand mit dem Summenzeichen den Wert 0 annimmt (da die obere Summationsgrenze schon erreicht ist)? In diesem Fall würde nur x = a übrig bleiben.
Viele Grüße und Danke im Voraus für Antworten.
Rabenhorst
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe mir Gedanken gemacht ob die folgende Gleichung
> für i=0 definiert ist:
>
> [mm]x = a + \summe_{i=0}^{i-1} (k+i)[/mm]
>
> Oder anders gefragt, ist es richtig anzunehmen, dass der
> Summand mit dem Summenzeichen den Wert 0 annimmt (da die
> obere Summationsgrenze schon erreicht ist)? In diesem Fall
> würde nur x = a übrig bleiben.
Ja, per Definition ist die leere Summe https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Summe
Null.
> Viele Grüße und Danke im Voraus für Antworten.
>
> Rabenhorst
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:19 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ich halte es auch für vernünftig, in der Mathematik das Summationssymbol als ausschließlich inkrementierend zu definieren, muss aber gestehen dass ich keiner diesbezügliche Definition in einem Lehrbuch gewahr bin, welche zwingend fordern würde, dass bei einer Summe die obere Grenze größer oder gleich der unteren sein müsse. Die deutsche Wikipedia ist (auch) was die Mathe-Einträge anlangt nicht sonderlich vertrauenswürdig und zuverlässig und in der englischen findet man diesen Passus auch nicht. Die leere Summe ist ja definiert als eine Summe mit null Summanden oder, wie das deutsche Wikipedia weiter ausführt, eine Summation über eine leere Indexmenge. Der Schluss, dass "daher" eine Summe von 3 bis 1 Null ergeben müsse ist m.E. aber nicht zwingend.
Jedenfalls berechnen die meisten Mathematikprogramm wie Mathcad, Maple, Matlab oder Matehmatica problemlos eine Summe wie
[mm]\summe_{k=3}^{1}k^2=14[/mm]
nur Derive meint
[mm]\summe_{k=3}^{1}k^2=-4[/mm]
und natürlich kann man diese Verhalten (mit Ergebnis 14) auch bei ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Alpha beobachten.
Hier haben sich offenbar die Programmierer durchgesetzt, die natürlich auch dekrementierende Schleifen kennen.
|
|
|
| |
|
Ich halte gar nichts davon sich in den Definitionen nach irgendeinem CAS zu richten. Insbesondere Wolfram/Mathematica hat mitunter sehr seltsame Definitionen.
> Der Schluss, dass "daher" eine Summe von 3 bis 1 Null ergeben müsse ist > m.E. aber nicht zwingend.
Der Wert unten an der Summe ist der Startwert, der oben der Endwert. Dass im Falle Endwert <Startwert die Summe Null ist, ist z.B. hier http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html oder https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Besondere_Summen so definiert. Ich kenne keine mathematisches Werk, dass das anders macht.
> Die deutsche Wikipedia ist (auch) was die Mathe-Einträge anlangt nicht > sonderlich vertrauenswürdig und zuverlässig und in der englischen
> findet man diesen Passus auch nicht.
https://en.wikipedia.org/wiki/Summation
Zitat:
The "i = m" under the summation symbol means that the index i starts out equal to m. The index, i, is incremented by 1 for each successive term, stopping when i = n.
Die Summationssymbol ist also auch im englischen Wiki als "inkremierend" definiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich halte gar nichts davon sich in den Definitionen nach
> irgendeinem CAS zu richten.
Weder danach, noch nach Wikipedia, hoffentlich. Davon war ja auch nicht die Rede. Man muss sich heute aber der Realität bei Benutzung eines CAS gewahr sein - das war der Punkt.
> Dass im Falle Endwert <Startwert die Summe Null
> ist, ist z.B. hier
> http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html
Ja, dort ist es in der Tat explizit angeführt, danke für den Link.
> Ich kenne keine mathematisches Werk, dass das anders macht.
Nun, nicht anders. Meist aber wird der Fall einfach nicht behandelt. Bestenfalls wird nur explizit davon gesprochen, dass inkrementiert wird, woraus man nur vage schließen könnte, dass im Falle einer kleineren oberen Grenze die Summe dadurch zumindest nicht definiert ist.
> > Die deutsche Wikipedia ist (auch) was die Mathe-Einträge
> anlangt nicht > sonderlich vertrauenswürdig und
> zuverlässig und in der englischen
> > findet man diesen Passus auch nicht.
> https://en.wikipedia.org/wiki/Summation
Ich habe vom Passus in der Definition von "Nullsumme" gesprochen, der den Fall n<m explizit als Nullsumme ausweist und mit der leeren Indexmenge argumentieret. Der von dir zitierte Eintrag ist ein Beispiel für das, was ich oben geschrieben habe. Natürlich kann mans mit ein wenig Krampf "herleiten" wenn man beim Summensymbol davon ausgeht, dass die Indexmenge die Menge jener ganzen Zahlen ist, welche sowohl größer/gleich der unteren, als auch kleiner/gleich der oberen Grenze sind.
Wie auch immer, der Fall n<m mit dem Ergebnis 0 muss gesondert behandelt/definiert werden, da er sich weder aus Formulierungen die von inkrementieren sprechen ergibt noch klar aus der Definition der Nullsumme als Summe über eine leere Indexmenge wie in deinem ursprünglichen Wikipedia Zitat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Di 01.07.2014 | | Autor: | Rabenhorst |
> http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html
Vielen Dank. Diese Quelle beschreibt genau meine Fragestellung.
|
|
|
| |
|
> Ich habe mir Gedanken gemacht ob die folgende Gleichung
> für i=0 definiert ist:
>
> [mm]x = a + \summe_{i=0}^{i-1} (k+i)[/mm]
>
> Oder anders gefragt, ist es richtig anzunehmen, dass der
> Summand mit dem Summenzeichen den Wert 0 annimmt (da die
> obere Summationsgrenze schon erreicht ist)? In diesem Fall
> würde nur x = a übrig bleiben.
Hallo Rabenhorst
ich würde mal sagen, dass diese Summe etwas "krank" ist.
Die Obergrenze (hier i-1) einer Summe darf natürlich nicht
vom Summationsindex (hier i) abhängig sein !
Hier ist das aber der Fall, was schlicht unsinnig ist.
Prüfe also bitte zuerst mal nach, ob du die Aufgabe
korrekt wiedergegeben hast !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ah, da war ich wohl bei meinen anderen Antworten mit Blindheit geschlagen.
Ich habs offenbar überlesen und bin da von
[mm]x = a + \summe_{k=0}^{i-1} (k+i)[/mm] für [mm]i=0[/mm]
ausgegangen.
Der Term, so wie er gegeben war, ist natürlich Unfug.
Gruß, RM
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Di 01.07.2014 | | Autor: | Rabenhorst |
> ich würde mal sagen, dass diese Summe etwas "krank" ist.
> Die Obergrenze (hier i-1) einer Summe darf natürlich
> nicht
> vom Summationsindex (hier i) abhängig sein !
Ja, du hast Recht. Folgender Ausdruck beschreibt meine Fragestellung richtig (für den Fall N=0):
[mm] x = a + \summe_{i=0}^{N-1}(k+i) [/mm]
Dies ist keine Frage sondern nur eine Mitteilung. Ich weiß aber nicht wie ich das einstellen kann.
|
|
|
|
