Summe Zufallsvariablen < Sonstiges < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo !
Die Zufallsvariable X hat die Wertemenge [mm] x_{1}...x_{m}.
[/mm]
Die Zufallsvariable Y hat die Wertemenge [mm] y_{1}...y_{n}.
[/mm]
Die Summe beider Zufallsvariablen lässt sich ja als eine dritte Zufallsvariable Z darstellen. Kann ich nun sagen:
Die Zufallsvariable Z hat die Wertemenge [mm] (x_{1}+y_{1}),...,(x_{1}+y_{n}),
[/mm]
.
.
.
[mm] (x_{m}+y_{1}),...,(x_{m}+y_{n})
[/mm]
weil so könnte die Wertemenge ja einen Wert mehrmals enthalten ?
noch eine andre Frage, kann man das "Die Zufallsvariable X hat die Wertemenge [mm] x_{1}...x_{m}" [/mm] noch irgendwie mathematischer ausdrücken (in einem krüzeren Satz) ?
Vielen Dank !
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 07.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo !
>
> Die Zufallsvariable X hat die Wertemenge [mm]x_{1}...x_{m}.[/mm]
> Die Zufallsvariable Y hat die Wertemenge [mm]y_{1}...y_{n}.[/mm]
>
> Die Summe beider Zufallsvariablen lässt sich ja als eine
> dritte Zufallsvariable Z darstellen. Kann ich nun sagen:
>
> Die Zufallsvariable Z hat die Wertemenge
> [mm](x_{1}+y_{1}),...,(x_{1}+y_{n}),[/mm]
> .
> .
> .
> [mm](x_{m}+y_{1}),...,(x_{m}+y_{n})[/mm]
>
> weil so könnte die Wertemenge ja einen Wert mehrmals
> enthalten ?
Wenn gilt $Y=X+1$ und $X$ nimmt die Werte 0 1 an, dann nicht.
>
> noch eine andre Frage, kann man das "Die Zufallsvariable X
> hat die Wertemenge [mm]x_{1}...x_{m}"[/mm] noch irgendwie
> mathematischer ausdrücken (in einem krüzeren Satz) ?
Die Zufallsvariable X hat den Traeger [mm] $\{ x_{1}...x_{m}\} [/mm] $. Das motzt! 
>
> Vielen Dank !
Bitte, bitte.
lg Luis
|
|
|
| |
|
> Wenn gilt [mm]Y=X+1[/mm] und [mm]X[/mm] nimmt die Werte 0 1 an, dann nicht.
Ja aber das ist doch nur ein Sonderfall ?
Für andere Fälle kann das doch sein. Und wie würdest du dann meine erste Frage beantworten ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:01 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> > Wenn gilt [mm]Y=X+1[/mm] und [mm]X[/mm] nimmt die Werte 0 1 an, dann nicht.
>
> Ja aber das ist doch nur ein Sonderfall ?
Wieso? Er zeigt, dass die Aussage im allgemeinen falsch ist.
> Für andere Fälle kann das doch sein.
Fuer andere Faelle kann das sein, ja. Z.B. wenn $X$ und $Y$ unabhaengig sind.
Ich will ja nur darauf hinaus zu betonen, dass man die
Voraussetzungen klar formulieren muss, unter denen eine
Aussage gelten soll.
lg Luis
|
|
|
| |
|
Irgendwie verstehe ich das nicht. Ich habe doch gesagt:
"weil so könnte die Wertemenge ja einen Wert mehrmals enthalten"
und du sagst, "ja zb wenn X und Y unabhängig sind".
also stimmt meine aussage ja wohl absolut !
ok wenn X und Y unabhängig sind, wie würdest du meine allererste Frage dann beantworten ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Fr 09.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> ok wenn X und Y unabhängig sind, wie würdest du meine
> allererste Frage dann beantworten ?
Habe ich doch schon: Wenn X und Y unabhaengig sind, nimmt $X+Y$ alle Werte [mm] $x_i+y_j$ [/mm] an, $i=1,...,m$ und $j=1,...,n$.
lg Luis
|
|
|
| |
|
> Wenn X und Y unabhaengig sind, nimmt
> [mm]X+Y[/mm] alle Werte [mm]x_i+y_j[/mm] an
Ja ok - das es sie annimmt kann man sagen. Aber kann man auch sagen, dass die Zufallsvariable Z die Wertemenge [mm] (x_{1}+y_{1}),...,(x_{1}+y_{n}), [/mm]
.
.
.
[mm] (x_{m}+y_{1}),...,(x_{m}+y_{n}) [/mm] hat?
Beispiel:
X hat die Wertemenge {1,3,5}
Y hat die Wertemenge {3,1,6}
Dann hätte X+Y nach obigem allgemeinem Verfahren ja die Wertemenge {4,2,7,6,4,9,8,6,11}
Also wären in der Wertemenge einige Werte doppelt enthalten. Geht das ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Blech |
>
> Beispiel:
>
> X hat die Wertemenge {1,3,5}
> Y hat die Wertemenge {3,1,6}
>
> Dann hätte X+Y nach obigem allgemeinem Verfahren ja die
> Wertemenge
[mm] $\{4,2,7,6,4,9,8,6,11\}=\{2,4,6,7,8,9,11\}$
[/mm]
Siehe meine andere Antwort =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Sa 10.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Bit2_Gosu,
>
> Dann hätte X+Y nach obigem allgemeinem Verfahren ja die
> Wertemenge {4,2,7,6,4,9,8,6,11}
>
> Also wären in der Wertemenge einige Werte doppelt
> enthalten. Geht das ?
>
Nein, das geht natuerlich nicht, siehe die Antworten von Blech. Betrachte die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit $P(X=0)=P(X=1)=1/2$ und $P(X=x)=0$ sonst, sowie $P(Y=0)=1/3$, $P(Y=1)=2/3$ und $P(Y=y)=0$. Wenn $X$ und $Y$ unabhaengig sind, dann nimmt $X+Y$ die Werte 0, 1 und 2 an, d.h. der Wertebereich ist die Menge [mm] $\{0,1,2\}$. [/mm] Was du mit "doppelt" bezeichnest, kann man so erklaeren: Will man $P(X+Y=1)$ berechnen, so sind zwei Ereignisse relevant $(X=0,Y=1)$ und $(X=1,Y=0)$. So ergibt sich [mm] $P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=1/2\times2/3+1/2\times1/3=1/2$.
[/mm]
lg
Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Irgendwie verstehe ich das nicht. Ich habe doch gesagt:
>
> "weil so könnte die Wertemenge ja einen Wert mehrmals
> enthalten"
>
> und du sagst, "ja zb wenn X und Y unabhängig sind".
>
> also stimmt meine aussage ja wohl absolut !
Das Problem ist, daß es nicht alle Werte enthalten muß.
In dem Bsp mit [mm] $X\in\{0,1\}$ [/mm] und [mm] $Y=X+1\in\{1,2\}$ [/mm] wäre Z=X+Y=2X+1. D.h. Z nimmt nur die Werte 1 oder 3 an. Hingegen ist
[mm] $\{x+y;\ x\in\{0,1\},\ y\in\{1,2\}\}=\{1,2,3\}$
[/mm]
> ok wenn X und Y unabhängig sind, wie würdest du meine
> allererste Frage dann beantworten ?
[mm] $\{1,3,5,2,3,4,1\}=\{1,2,3,4,5\}$
[/mm]
Bei Mengen spielt weder die Reihenfolge eine Rolle, noch wie oft das Element drinsteht; Du mußt nur bei der Berechnung von tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten aufpassen, weil da die Anzahl (im allgemeinen) sehr wohl eine Rolle spielt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
> [mm]\{1,3,5,2,3,4,1\}=\{1,2,3,4,5\}[/mm]
> Bei Mengen spielt weder die Reihenfolge eine Rolle, noch
> wie oft das Element drinsteht
Genau das wollte ich von anfang an wissen ;)
Vielen Dank euch beiden !
|
|
|
|
