Summe/Produkt vereinfachen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sollen die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich vereinfacht werden:
[mm] $\summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}, [/mm] $ [mm] $\summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}.$ [/mm] |
Hallo allerseits,
diese Aufgabe ist Teil des Klausurvorbereitungsblattes und da die Lösung erst am Vorabend der Klausur erscheinen wird, muss ich zusehen, dass ich mir die Lösungen bis dahin erarbeite.
So eine Aufgabe kam bisher nicht dran und mein erster Gedanke war: Verzweiflung!
Es tut mir Leid, dass ich absolut keinen eigenen Ansatz habe, aber ich finde keinen. Ich verstehe bei der ersten Summe nicht, wie das ohne oberer Summationsgrenze funktionieren soll und nach welchen Regeln ich hier vorgehen muss.
Es wäre sehr nett, wenn jemand ein paar hilfreiche Worte übrig hätte und sie hier niederschreiben würde.
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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Hallo grec,
erst einmal kommt es darauf an, die Summen- und Produktschreibweise zu entziffern bzw. aufzulösen:
> Es sollen die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich
> vereinfacht werden:
>
> [mm]\summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2},[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}.[/mm]
> Hallo allerseits,
>
> diese Aufgabe ist Teil des Klausurvorbereitungsblattes und
> da die Lösung erst am Vorabend der Klausur erscheinen
> wird, muss ich zusehen, dass ich mir die Lösungen bis
> dahin erarbeite.
>
> So eine Aufgabe kam bisher nicht dran und mein erster
> Gedanke war: Verzweiflung!
Cool bleiben. Es sind doch nur griechische Großbuchstaben. Die kannst Du doch. 
> Es tut mir Leid, dass ich absolut keinen eigenen Ansatz
> habe, aber ich finde keinen. Ich verstehe bei der ersten
> Summe nicht, wie das ohne oberer Summationsgrenze
> funktionieren soll und nach welchen Regeln ich hier
> vorgehen muss.
Gut, fangen wir damit mal an:
> [mm] $\summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}$ [/mm]
Interessante LaTeX-Schreibweise, die kannte ich noch gar nicht. Aber egal.
Hier wird über alle [mm] \alpha [/mm] aus der angegebenen Menge summiert. Wenn man das Summenzeichen also eliminieren will, steht da:
[mm] \summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}=\vektor{-\bruch{1}{2}-1\\2}+\vektor{-\bruch{1}{2}\\2}+\vektor{-\bruch{1}{2}+1\\2}=\vektor{-\bruch{3}{2}\\2}+\vektor{-\bruch{1}{2}\\2}+\vektor{\bruch{1}{2}\\2}
[/mm]
Weiter kommst Du ab hier nur, wenn Ihr die ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Binomialkoeffizienten behandelt habt. Wenn nicht, lass das Ergebnis einfach wie oben stehen.
> Es wäre sehr nett, wenn jemand ein paar hilfreiche Worte
> übrig hätte und sie hier niederschreiben würde.
Ja, äh... Du schaffst das. Alles wird gut. Das Leben geht weiter. Mathe macht Spaß. Prüfungen sind nicht alles im Leben. Und so...
Vielleicht trotzdem noch etwas zur zweiten Aufgabe:
> [mm] $\summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}$
[/mm]
Die erste Summe sollte kein Problem darstellen:
[mm] \summe_{k=1}^{50}2k=2*\summe_{k=1}^{50}k=\cdots
[/mm]
Die jetzt nötige Formel gehört wirklich zu denen, die man kennen muss.
Wenden wir uns also mal dem zweiten Term zu, der so monströs aussieht:
[mm] \produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}=\left(\summe_{i=0}^{\infty}(1+1)^{-i}\right)*\left(\summe_{i=0}^{\infty}(2+1)^{-i}\right)*\left(\summe_{i=0}^{\infty}(3+1)^{-i}\right)=\cdots
[/mm]
Jetzt braucht man die Formel für geometrische Reihen. Die erste Summe ergibt dann 1 - und die andern beiden?
Den zweiten Teil Deiner Aufgabe solltest Du also komplett bestimmen können, also ein genaues Ergebnis nennen, nämlich [mm] \red{2550\bruch{1}{6}}.
[/mm]
editiert...
Hmpf. Mein Ergebnis war falsch. Da hätten die Summen erst mit i=1 anfangen dürfen.
Richtig ist [mm] \blue{2554}.[/blue]
[/mm]
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Es sollen die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich vereinfacht werden:
$ [mm] \summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}, [/mm] $ $ [mm] \summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}. [/mm] $ |
Hallo rev,
> > So eine Aufgabe kam bisher nicht dran und mein erster
> > Gedanke war: Verzweiflung!
>
> Cool bleiben. Es sind doch nur griechische Großbuchstaben.
> Die kannst Du doch.
> > Es tut mir Leid, dass ich absolut keinen eigenen Ansatz
> > habe, aber ich finde keinen. Ich verstehe bei der ersten
> > Summe nicht, wie das ohne oberer Summationsgrenze
> > funktionieren soll und nach welchen Regeln ich hier
> > vorgehen muss.
>
> Gut, fangen wir damit mal an:
>
> > [mm]\summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}[/mm]
>
> Interessante LaTeX-Schreibweise, die kannte ich noch gar
> nicht. Aber egal.
Wahrscheinlich kennst Du diese Seite ohnehin schon:
TeX
> Hier wird über alle [mm]\alpha[/mm] aus der angegebenen Menge
> summiert. Wenn man das Summenzeichen also eliminieren will,
> steht da:
>
> [mm]\summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}=\vektor{-\bruch{1}{2}-1\\2}+\vektor{-\bruch{1}{2}\\2}+\vektor{-\bruch{1}{2}+1\\2}=\vektor{-\bruch{3}{2}\\2}+\vektor{-\bruch{1}{2}\\2}+\vektor{\bruch{1}{2}\\2}[/mm]
>
> Weiter kommst Du ab hier nur, wenn Ihr die
> verallgemeinerten Binomialkoeffizienten
> behandelt habt. Wenn nicht, lass das Ergebnis einfach wie
> oben stehen.
Die Verallgemeinerung haben wir nicht behandelt. Der Wikipedia-Eintrag hat mich aber neugierig gemacht und ich versuche das Obige fortzusetzen:
[mm] $\frac{(-1.5 - (2 - 1))}{2!}=\frac{-2.5}{2!}=-1.25$
[/mm]
[mm] $\frac{(-0.5 - (2 - 1))}{2!}=\frac{-1.5}{2!}=-0.75$
[/mm]
[mm] $\frac{(0.5 - (2 - 1))}{2!}=\frac{-0.5}{2!}=-0.25$
[/mm]
[mm] $(-1.25)+(-0.75)+(-0.25)=-2.25\!\$
[/mm]
> > Es wäre sehr nett, wenn jemand ein paar hilfreiche Worte
> > übrig hätte und sie hier niederschreiben würde.
>
> Ja, äh... Du schaffst das. Alles wird gut. Das Leben geht
> weiter. Mathe macht Spaß. Prüfungen sind nicht alles im
> Leben. Und so...
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> Vielleicht trotzdem noch etwas zur zweiten Aufgabe:
>
> >
> [mm]\summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}[/mm]
>
> Die erste Summe sollte kein Problem darstellen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{50}2k=2*\summe_{k=1}^{50}k=\cdots[/mm]
>
> Die jetzt nötige Formel gehört wirklich zu denen, die man
> kennen muss.
Der kleine Gauß sagt 1275. Damit 2*1275=2550
> Wenden wir uns also mal dem zweiten Term zu, der so
> monströs aussieht:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}=\left(\summe_{i=0}^{\infty}(1+1)^{-i}\right)*\left(\summe_{i=0}^{\infty}(2+1)^{-i}\right)*\left(\summe_{i=0}^{\infty}(3+1)^{-i}\right)=\cdots[/mm]
>
> Jetzt braucht man die Formel für geometrische Reihen. Die
> erste Summe ergibt dann 1 - und die andern beiden?
> Den zweiten Teil Deiner Aufgabe solltest Du also komplett
> bestimmen können, also ein genaues Ergebnis nennen,
> nämlich [mm]2550\bruch{1}{6}.[/mm]
Ich verwende für jede Summe:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}$
[/mm]
Und erhalte:
[mm] $(-1)*(-0.5)*(-\bruch{1}{3})$
[/mm]
Wegen dem negativen Exponenten -i aber:
[mm] $(1)*(0.5)*(\bruch{1}{3})=\bruch{1}{6}$
[/mm]
Das Endergebnis der gesamten Rechnung:
[mm] $2550\bruch{1}{6}$
[/mm]
> editiert...
>
> Grüße
> reverend
Ich danke Dir vielmals.
Gruß
el_grecco
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Hallo grec,
> Wahrscheinlich kennst Du diese Seite ohnehin schon:
>
> TeX
Ja, aber ich habe sie nicht wirklich gelesen...
> > Hier wird über alle [mm]\alpha[/mm] aus der angegebenen Menge
> > summiert. Wenn man das Summenzeichen also eliminieren will,
> > steht da:
> >
> > [mm]\summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}=\vektor{-\bruch{1}{2}-1\\
2}+\vektor{-\bruch{1}{2}\\
2}+\vektor{-\bruch{1}{2}+1\\
2}=\vektor{-\bruch{3}{2}\\
2}+\vektor{-\bruch{1}{2}\\
2}+\vektor{\bruch{1}{2}\\
2}[/mm]
>
> >
> > Weiter kommst Du ab hier nur, wenn Ihr die
> >
> verallgemeinerten Binomialkoeffizienten
> > behandelt habt. Wenn nicht, lass das Ergebnis einfach wie
> > oben stehen.
>
> Die Verallgemeinerung haben wir nicht behandelt. Der
> Wikipedia-Eintrag hat mich aber neugierig gemacht und ich
> versuche das Obige fortzusetzen:
>
> [mm]\frac{(-1.5 - (2 - 1))}{2!}=\frac{-2.5}{2!}=-1.25[/mm]
[mm] \vektor{-1,5\\2}=\bruch{(-1,5)*(-2,5)}{2!}=\bruch{15}{8}=1,875
[/mm]
> [mm]\frac{(-0.5 - (2 - 1))}{2!}=\frac{-1.5}{2!}=-0.75[/mm]
[mm] \vektor{-0,5\\2}=\bruch{(-0,5)*(-1,5)}{2!}=\bruch{3}{8}=0,375
[/mm]
> [mm]\frac{(0.5 - (2 - 1))}{2!}=\frac{-0.5}{2!}=-0.25[/mm]
[mm] \vektor{0,5\\2}=\bruch{0,5*(-0,5)}{2!}=-\bruch{1}{8}=-0,125
[/mm]
> [mm](-1.25)+(-0.75)+(-0.25)=-2.25\!\[/mm]
[mm] 1,875+0,375-0,125=2,125=\bruch{17}{8}
[/mm]
> > Vielleicht trotzdem noch etwas zur zweiten Aufgabe:
> >
> [mm]\summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}[/mm]
> >
> > Die erste Summe sollte kein Problem darstellen:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{50}2k=2*\summe_{k=1}^{50}k=\cdots[/mm]
> >
> > Die jetzt nötige Formel gehört wirklich zu denen, die man
> > kennen muss.
>
> Der kleine Gauß sagt 1275. Damit 2*1275=2550
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Wenden wir uns also mal dem zweiten Term zu, der so
> > monströs aussieht:
> >
> >
> [mm]\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}=\left(\summe_{i=0}^{\infty}(1+1)^{-i}\right)*\left(\summe_{i=0}^{\infty}(2+1)^{-i}\right)*\left(\summe_{i=0}^{\infty}(3+1)^{-i}\right)=\cdots[/mm]
> >
> > Jetzt braucht man die Formel für geometrische Reihen. Die
> > erste Summe ergibt dann 1 - und die andern beiden?
> > Den zweiten Teil Deiner Aufgabe solltest Du also
> komplett
> > bestimmen können, also ein genaues Ergebnis nennen,
> > nämlich [mm]2550\bruch{1}{6}.[/mm]
Das war falsch von mir. Ich habe es jetzt nachträglich korrigiert, siehe auch unten.
> Ich verwende für jede Summe:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q}[/mm]
>
> Und erhalte:
>
> [mm](-1)*(-0.5)*(-\bruch{1}{3})[/mm]
Nein, die q sind doch hier diese: [mm] \bruch{1}{2},\ \bruch{1}{3},\ \bruch{1}{4}
[/mm]
Da [mm] a_0 [/mm] jeweils =1 ist, erhält man: [mm] 2*\bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}=4
[/mm]
> Wegen dem negativen Exponenten -i aber:
>
> [mm](1)*(0.5)*(\bruch{1}{3})=\bruch{1}{6}[/mm]
Nein, da bist Du meinem Rechenfehler aufgesessen, denke ich. Der negative Exponent ist hier doch nur eine andere Schreibweise für den Kehrwert, also [mm] 2^{-i}=\bruch{1}{2^i}.
[/mm]
> Das Endergebnis der gesamten Rechnung:
>
> [mm]2550\bruch{1}{6}[/mm]
Dachte ich auch, aber ich hatte gar nicht ab i=0 gerechnet. Insgesamt ergibt sich [mm] \blue{2554}.
[/mm]
> Ich danke Dir vielmals.
>
> Gruß
> el_grecco
Gern geschehen, bis auf die unnötige Verwirrung. Ich kann halt doch nicht rechnen, versuche das aber meist erfolgreich zu verbergen...
Grüße
rev
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| Aufgabe | Es sollen die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich vereinfacht werden:
$ [mm] \summe_{\alpha \in \{ -1,0,1 \}}{ -\bruch{1}{2}+\alpha \choose 2}, [/mm] $ $ [mm] \summe_{k=1}^{50}2k+\produkt_{k=1}^{3}\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)^{-i}. [/mm] $ |
Hallo rev,
nur kuz nochmal zur Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten:
[mm] ${\alpha \choose k} =\begin{cases}\frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdot \, \dots \, \cdot (\alpha - (k - 1))}{k!} &\mbox{wenn } k>0\\1 &\mbox{wenn } k=0\\0 &\mbox{wenn } k<0\end{cases}$
[/mm]
Wenn man beispielsweise ${6 [mm] \choose [/mm] 3}$ hätte.
Würde man dann schreiben ${6 [mm] \choose 3}=\frac{6(6 - 1)}{3!}=\frac{6(5)}{3!}=\frac{30}{3!}=5$ [/mm] ?
> Gern geschehen, bis auf die unnötige Verwirrung. Ich kann
> halt doch nicht rechnen, versuche das aber meist
> erfolgreich zu verbergen...
Absolut kein Problem. Als Student einer "Elite"-Uni hätte ich den Fehler aber bemerken müssen. Sagen wir einfach, Du wolltest mich nur testen.
> Grüße
> rev
Ein schönes Wochenende!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Nein, Dein Beispiel stimmt so nicht. Es gilt:
[mm]\vektor{6 \\
\red{3}} \ = \ \bruch{\overbrace{6*5*4}^{\text{jeweils} \ \red{3} \ \text{Faktoren}}}{1*2*3} \ = \ ... \ = \ 20[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
sorry, mir ist zu spät aufgefallen, dass mein Beispiel gar kein Sonderfall ist. Das Beispiel hätte sinnvollerweise so aussehen müssen:
Wenn man beispielsweise $ {6.5 [mm] \choose [/mm] 3} $ hätte.
Würde man dann schreiben $ {6.5 [mm] \choose 3}=\frac{6.5(6.5 - 1)}{3!}=\frac{6(5.5)}{3!}=\frac{33}{3!}=5.5 [/mm] $ ?
Ich danke Dir!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Nein, auch das stimmt nicht. Wie bei mir oben angedeutet, müssen es im Zähler insgesamt 3 Faktoren sein (wegen der unteren 3 im erweiterten Binomialkoeffizienten).
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ich hoffe, dass es jetzt richtig ist:
$ {6.5 [mm] \choose 3}=\frac{6.5*(6.5 - 1)*(6.5-2)}{3!}=\frac{6.5*(5.5)*(4.5)}{3!}=\frac{160.875}{3!}=26.8125$
[/mm]
Danke, echt knorke von Dir, mir zu helfen!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Nun passt es!
Gruß
Loddar
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