Summe Pascal'sches Dreieck < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 27.06.2005 | | Autor: | dh_zm |
hallo, ich schon wieder :)
ich suche den Wert der Summe
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] k^2 [/mm] $
also sprich der Summe der n-ten Zeile im Pascal'schen Dreieck, wobei jede Spalte mit [mm] k^2 [/mm] multipliziert wird.
als vermutung habe ich:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] k^2 \stackrel{Vermutg.}{=} [/mm] n*(n+1) * [mm] 2^{n-2} [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2 $
weiterhin gilt ja auch:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * k = n * [mm] 2^{n-1} [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 1 $
aber trotz dieser großen ähnlichkeit habe ich die vermutung nicht herausbekommen, obwohl sie zu stimmen scheint.
kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
vielen dank im vorraus,
daniel
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Hallo!
Der Trick dürfte sein, folgende Umformung zu machen:
[mm] $\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}k^2=\summe_{k=0}^n\bruch{n*(n-1)!}{k*(k-1)!(n-k)!}k^2=\summe_{k=0}^n n*\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\big((n-1)-(k-1))\big)!}*k=n*\summe_{k=1}^n\vektor{n-1\\k-1}*k=n*\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\k}*(k+1)$...
[/mm]
Kommst du jetzt auf die Lösung?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 27.06.2005 | | Autor: | dh_zm |
hi, danke erstmal für die schnelle antwort! :)
also ich komme so weit:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] n * k * [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] = n * [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] $
jetzt komme ich schon wieder nicht weiter, ich hab das mal so probiert (mit Rekursionsbez. Im Pascal'schen Dreieck):
$ = n * [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * ( [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] - [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] ) = n * [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] ( k * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] - k * [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] ) $
$ = n * ( [mm] \underbrace{\summe_{k=0}^{n} k * \vektor{n \\ k}}_{= n * 2^{n-1}} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] ) $
da stecke ich jetzt irgendwie fest
oder hast du es anders gemeint?
wär schön wenn du mir nochmal helfen könntest... :)
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Hallo!
Wie bereits gepostet kann man ja so umformen:
[mm] $\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}k^2=\summe_{k=0}^n\bruch{n*(n-1)!}{k*(k-1)!(n-k)!}k^2=\summe_{k=0}^n n*\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\big((n-1)-(k-1))\big)!}*k=n*\summe_{k=1}^n\vektor{n-1\\k-1}*k=n*\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\k}*(k+1)$.
[/mm]
Also ist
[mm] $\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}k^2=n*\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\k}*(k+1)=n*\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\k}*k+n*\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\k}$.
[/mm]
Für den ersten Teil dieser Summe kannst du jetzt deine Formel $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * k = n * [mm] 2^{n-1}$ [/mm] verwenden, allerdings für $n-1$. Dann folgt:
[mm] $\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}k^2=n*\big[(n-1)*2^{n-2}\big]+n*(1+1)^{n-1}=n(n-1)*2^{n-2}+2*n*2^{n-2}=2^{n-2}n(n-1+2)=2^{n-2}*n*(n+1)$.
[/mm]
Gruß, banachella
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