Sum of two integer squares < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Ich versuche eine Aufgabe zu lösen, für welche ich aber den Beweis eines Korollars verstehen sollte.. An einer Stelle ist mir etwas nicht ganz so klar. Also:
[mm] \underline{Corollary:} [/mm] A positive integer n may be expressed as sum of two integer squares if and only if the multiplicity in the prime factorization of n of every prime [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4) is even.
[mm] \textbf{Proof:}
[/mm]
[mm] \underline{Case 1:} [/mm] gcd(x,y) = 1 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] u: [mm] u^{2} \equiv [/mm] -1 (mod n) [mm] \Rightarrow \forall [/mm] odd p|n, p prime: [mm] u^{2} \equiv [/mm] -1 (mod p) [mm] \Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right) [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4)
[mm] (\left(\frac{-1}{n}\right) [/mm] = Jacobi Symbol)
Da, die letzte Schlussfolgerung verstehe ich nicht.. wieso folgt [mm] \left(\frac{-1}{p}\right) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4)??
Ich sehe das irgendwie nicht... Ich habe angesetzt:
[mm] \left(\frac{-1}{p}\right) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \frac{p-1}{2} [/mm] muss gerade sein.. aber mehr kann ich nicht schlussfolgern..
Kann jemand helfen? :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Di 06.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro,
> Ich versuche eine Aufgabe zu lösen, für welche ich aber
> den Beweis eines Korollars verstehen sollte.. An einer
> Stelle ist mir etwas nicht ganz so klar. Also:
>
> [mm]\underline{Corollary:}[/mm] A positive integer n may be
> expressed as sum of two integer squares if and only if the
> multiplicity in the prime factorization of n of every prime
> [mm]\equiv[/mm] 3 (mod 4) is even.
>
> [mm]\textbf{Proof:}[/mm]
> [mm]\underline{Case 1:}[/mm] gcd(x,y) = 1 [mm]\Rightarrow \exists[/mm] u:
> [mm]u^{2} \equiv[/mm] -1 (mod n) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] odd p|n, p
> prime: [mm]u^{2} \equiv[/mm] -1 (mod p) [mm]\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)[/mm]
> = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] p [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4)
>
> [mm](\left(\frac{-1}{n}\right)[/mm] = Jacobi Symbol)
>
> Da, die letzte Schlussfolgerung verstehe ich nicht.. wieso
> folgt [mm]\left(\frac{-1}{p}\right)[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] p [mm]\equiv[/mm] 1
> (mod 4)??
> Ich sehe das irgendwie nicht... Ich habe angesetzt:
>
> [mm]\left(\frac{-1}{p}\right)[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}}[/mm]
> = 1 [mm]\Rightarrow \frac{p-1}{2}[/mm] muss gerade sein.. aber mehr
> kann ich nicht schlussfolgern..
wenn [mm] $\frac{p - 1}{2}$ [/mm] gerade ist, kannst du [mm] $\frac{p - 1}{2} [/mm] = 2 m$ schreiben fuer ein $m [mm] \in \IZ$. [/mm] Aber dann ist $p - 1 = 4 m$, also $p = 4 m + 1$ und somit $p [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Di 06.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Aber natürlich!
Danke Felix :)
L. Grüsse, Amaro
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