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Forum "Integralrechnung" - Substitutionsverfahren
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Substitutionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 So 27.11.2005
Autor: Magnia

Hallo
Ich hapere ein bisschen am Substitotionsverfahren.

[mm] h(x)=(x+1)^3 [/mm]        

z = x+1

[mm] \bruch{dx}{dz}=1 [/mm]

dx = dz

h(x)= [mm] z^3 [/mm] * dz
H(x)= 1/4 z ^4 * dz

H(x)= [mm] 1/4/x+1)^4 [/mm]

nur wie funktioniert es wenn z.b.

h(x)= [mm] -3(1-3x)^2 [/mm]  ist ?

Z= -3(1/3x)

[mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm] -3(1/3x)
[mm] \bruch{dz}{-3(1/3x) }=dx [/mm]

[mm] z^2 [/mm] * [mm] \bruch{dz}{-3(1/3x) } [/mm]

wie soll das bitte gehen ?
was hat das mit diesem dz auf sich ? im oberen beispiel war es ja 1 ! aber muss ich das auch aufleiten zu 1x ?
bin ein bisschen ratlos und frage mir wozu dieses verfahren überhaupt wirklich gut ist ? Klar zum Aufleiten ! Ist es sowas wie die Kettenregel nur zum aufleiten ?

Ist dann die Partielle Integration sowas wie die Produktregel zum aufleiten ?

blicke immoment leider nicht ganz durch wie das gehen soll...
hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
danke
        
Bezug
Substitutionsverfahren: Erläuterungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 So 27.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> h(x)= [mm]z^3[/mm] * dz

Bitte etwas genauer aufschreiben:

[mm] $\red{\integral}{h(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{\integral}{(x+1)^3 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{\integral}{z^3 \ dz}$ [/mm]


> H(x)= 1/4 z ^4 * dz
> H(x)= [mm]1/4(x+1)^4[/mm]

[ok]



> nur wie funktioniert es wenn z.b.
>
> h(x)= [mm]-3(1-3x)^2[/mm]  ist ?
>  
> Z= -3(1/3x)

[notok] Nein, hier substituierst Du lediglich, was in der Klammer steht:

$z \ := \ 1-3x$


Willst Du es nochmal probieren?


>  was hat das mit diesem dz auf sich ?

Dieses Differential $dx_$ bzw. $dz_$ gibt ja an, nach welcher Variablen integriert werden soll. Daher müssen wir dieses auch immer ersetzen, wenn wir eine Substitution durchführen.


> im oberen beispiel  war es ja 1 !
> aber muss ich das auch aufleiten zu 1x ?

[notok] Nein, das wurde ja nur benutzt, um $dx_$ durch $dz_$ darzustellen.


> Ist es sowas wie die Kettenregel nur zum aufleiten ?

Im übertragenen Sinne: Ja!


> Ist dann die Partielle Integration sowas wie die
> Produktregel zum aufleiten ?

[ok] Genau!


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Substitutionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 So 27.11.2005
Autor: Magnia

ok son bisschen verstehe ich es mitlerweile

bei so einfachen aufgaben geht es

doch ich hapere dann wieder bei sowas hier

h(x)=  [mm] \wurzel{1-2x} [/mm]

z = [mm] \wurzel{1-2x} [/mm]

[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \wurzel{1-2x} [/mm]    ( bekomme hier [mm] \wurzel{1-2x} [/mm] als ableitung für [mm] \wurzel{1-2x} [/mm] raus ???????  ( [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1-2x}} [/mm]  )*2  = [mm] \wurzel{1-2x} [/mm] ) ist das richtig ?
[mm] \bruch{dz}{\wurzel{1-2x}} [/mm]

[mm] \integral_{a}^{b}z{ \bruch{dz}{\wurzel{1-2x}} } [/mm]

nützt mir auch nichts.....

genauso wie hier

h(x)= x *  [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm]

z= [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm]

(dz * [mm] \wurzel{x^2+1})/x [/mm]

[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {x * z * (dz * [mm] \wurzel{x^2+1})/x} [/mm]
= Z * dz * [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm]

was is das aufgeleitet? in dem fall wäre es doch im integral [mm] z^2 [/mm] dz oder ?

is das dann
1/3 ( [mm] \wurzel{x^2+1} )^3 [/mm] ???


Bezug
                
Bezug
Substitutionsverfahren: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 So 27.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> h(x)=  [mm]\wurzel{1-2x}[/mm]
>  
> z = [mm]\wurzel{1-2x}[/mm]

[notok] Diese Substitution nützt leider nichts ...

$z \ := \ 1-2x$


  
> ( [mm]\bruch{1}{2\wurzel{1-2x}}[/mm]  )*2  = [mm]\wurzel{1-2x}[/mm] ) ist das richtig ?

Auch wenn wir es hier nicht brauchen ... aber mal zur Kontrolle:

[mm] $\left(\wurzel{1-2x} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{-}2}{2*\wurzel{1-2x}} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} \bruch{1}{\wurzel{1-2x}}$ [/mm]



> h(x)= x *  [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]
> z= [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]

[notok] Auch hier nur den Ausdruck unter der Wurzel substituieren:

$z \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm]


Denn damit erhalten wir ein uns bekanntes (und lösbares) Integral:

[mm] $\integral{\bruch{1}{2}*\wurzel{z} \ dz}$ [/mm]


Gruß
Loddar

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