Substitution mit dv=v´(x)dx < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 23.04.2006 | | Autor: | oanry |
halli, hallo, morgen gehts ins abi und da hab ich noch eine kleine frage:
wir haben kurz vor ende ncoh eine sache ganz kurz angesprochen betreffend integration durch substitution und zwar habe ich hier einen zettel auf dem steht:
beim übergang von der integrationsvariablen x zu einer anderen variablen v gilt für das umrechnen der differentiale dv/dx=v´(x) bzw. dv = v´(x)dx.
dann habe ich hier eine beispiel gegeben:
[mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{x}{2-x} dx}
[/mm]
= - [mm] \integral_{2}^{1}{ \bruch{2-v}{v} dv}
[/mm]
= - [mm] \integral_{2}^{1}{ \bruch{2}{v}-1 dv}
[/mm]
= -[2 ln(v) - v]
= 2 ln2 -1
und es sei v(x) = 2-x und x= 2-v und dx= -dv
da blick ich nicht durch, kann mir das jemand erklären?
herzlichen dank,
oanry
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 23.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo oanry, herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Respekt, dass du den Formeleditor verwendet hast, so etwas ist für Erst-User recht selten.
> halli, hallo, morgen gehts ins abi und da hab ich noch eine
> kleine frage:
> wir haben kurz vor ende ncoh eine sache ganz kurz
So etwas finde ich asig :/
Die Norm fürs Zentralabi steht nicht erst seit gestern fest und dann versucht man in der letzten Stunde noch einmal den Rest durchzukloppen - das stiftet doch nur Verwirrung und schafft Unmut.
> angesprochen betreffend integration durch substitution und
> zwar habe ich hier einen zettel auf dem steht:
>
> beim übergang von der integrationsvariablen x zu einer
> anderen variablen v gilt für das umrechnen der
> differentiale dv/dx=v´(x) bzw. dv = v´(x)dx.
>
> dann habe ich hier eine beispiel gegeben:
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{x}{2-x} dx}[/mm]
> = -
> [mm]\integral_{2}^{1}{ \bruch{2-v}{v} dv}[/mm]
> = -
> [mm]\integral_{2}^{1}{ \bruch{2}{v}-1 dv}[/mm]
> = -[2 ln(v) - v]
> = 2 ln2 -1
>
> und es sei v(x) = 2-x und x= 2-v und dx= -dv
>
> da blick ich nicht durch, kann mir das jemand erklären?
Du hast im Allgemeinen folgenden Ausdruck:
[mm] $\int [/mm] f(x) dx$
f(x) ist irgendeine Funktion, halte ich mich mal an dein schönes Beispiel - hättest du es nicht gepostet, hättest du vermutlich auch eine weniger detaillierte Antwort bekommen.
[mm] $\integral_{0}^{1}{ \bruch{x}{2-x} dx}$
[/mm]
Dieser Term ist schwierig auf anhieb zu integrieren und daher nutzen wir die Integration durch Substitution und sagen v(x)=2-x (in deiner Lösung hat man das noch nach x umstellt, aber dazu später). Setzen wir die Substitution einfach mal ein (es ändern sich allerdings die Integralsgrenzen!)
[mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \bruch{x}{v} dx}$
[/mm]
Nun haben wir das Problem, dass im Zähler (also oben auf dem Bruchstrich) noch ein x steht und wir nach dx (das heißt, nach X integrieren) - Durch das v im Nenner (unterm Bruchstrich) ist das allerdings heikel, daher müssen wir das dx noch in das dv umwandeln.
Im Allgemeinen gilt
$f'(x) = {dy}{dx}$
Das ist die Formel fürs Steigungsdreieck, eigentlich eher bei Geraden gesehen.
f'(x) ist unsere zu integrierende Funktion von anfang an, wir haben allerdings nun ein v(x). Dafür gilt dann ähnliches.
$v'(x) = {dv}{dx}$
Dieses dv ist wirklich NICHTS anderes als das dy.
$v'(x) = {dv}{dx}$ Das kannst du nun umstellen, da wir dx in dv umwandeln wollen, müssen wir es nach dx umstellen... (auch, wenn du da teilweise andere Sachen gemacht hast - die aber wenig hilfreich sind)
$v'(x) = {dv}{dx} // *dx // :v'(x) $
$dx = {dv}{v'(x)}$
Nun müssen wir unsere Substituion noch einmal ableiten.
$v(x)=2-x$
$v'(x) = -1$
Eingesetzt in die Formel $dx = {dv}{v'(x)}$, ergibt sich
$dx = {dv}{-1}$
das ist das selbe wie
$dx = -dv$
Es ergibt sich für unser Integral
[mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \bruch{x}{v} *(-dv)}$
[/mm]
Nun haben wir da allerdings noch ein x im Zähler stehen, das hat sich leider nicht weggekürzt, daher müssen wir unsere Substitution noch nach x umstellen
$v(x)=2-x //+x //-v(x) $
$x=2-v(x)$
das ist übrigens das selbe wie $x=2-v$ Das darf man so schreiben.
Eingesetzt in unser Integral
[mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \bruch{2-v}{v} *(\red{-}dv)}$
[/mm]
leicht vereinfacht, minus Zeichen und den Bruch umgeschrieben
I [mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \bruch{2-v}{v} *(\red{-}dv)}$
[/mm]
[mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \red{-}(\bruch{2}{v}-\br{v}{v}) dv}$
[/mm]
Das minus zeichen mit dem Bruch ausmultiplizieren
[mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ -\bruch{2}{v}+\br{v}{v} dv}$
[/mm]
Oups, ich sehe gerade, ihr habt das Minus zeichen einfach vor das Integral gezogen, das geht natürlich auch, da es einfach nur ein Faktor ist, nämlich der von minus 1.
So kann man es auch machen
Gleichung I lautete:
I [mm] $\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \bruch{2-v}{v} *(\red{-}dv)}$
[/mm]
Das ist das selbe wie
[mm] $\red{-}\integral_{v(0)}^{v(1)}{ \bruch{2-v}{v} dv}$
[/mm]
Und dann halt wieder den Bruch umstellen etc.
Noch Fragen?
>
> herzlichen dank,
> oanry
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Schöne Grüße, Disap
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