Substitution im Doppelintegral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich arbeite derzeit die Quelle http://www.matze-bonn.de/informatik/Seminar_CT.pdf durch und stocke leider auf Seite 11 und mag es nicht einfach übergehen, da der Folgeteil darauf aufbaut - also frage ich einfach :)
Folgendes Integral ist gegeben:
[mm] $f(x,y)=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty} F(u,v)\cdot e^{i 2\pi (u x + v y)} [/mm] du dv$
Nun wird das ganze in Polarkoordinaten umgewandelt, d.h. wir substituieren [mm] $u=w\cdot cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $v=w\cdot sin(\phi)$. [/mm] Angeblich wird dann [mm] $du\cdot [/mm] dv$ zu [mm] $w\cdot dw\cdot d\phi$ [/mm] - wie kommt man darauf? Ich weiß leider nicht wie die Substitution im mehrdimensionalen Funktioniert, vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen!
Liebe Grüße und allen einen guten Rutsch!!
Hanno
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Hi Hanno.
Die Substitutionsregel lautet im Mehrdimensionalen wie folgt:
Die [mm] $\mathbb{R}^p$-wertige [/mm] Funktion [mm] $\bold{g}$ [/mm] sei auf der offenen Menge [mm] $G\subset\mathbb{R}^p$ [/mm] injektiv und stetig differenzierbar, und [mm] $\det \bold{g}'(\bold{t})$ [/mm] sei auf $G$ entweder ständig positiv oder ständig negativ. Ferner sei $T$ eine kompakte, Jordan-meßbare Teilmenge von $G$ und $f$ eine auf [mm] $\bold{g}(T)$ [/mm] stetige reellwertige Funktion. Dann ist [mm] $\bold{g}(T)$ [/mm] Jordan-meßbar, $f$ auf [mm] $\bold{g}(T)$ [/mm] R-integrierbar und
[mm] $$\int_{\bold{g}(T)}f(\bold{x})\,\text{d}\bold{x}=\int_T f(\bold{g}(\bold{t}))|\det \bold{g}'(\bold{t})|\,\text{d}\bold{t}$$
[/mm]
Die Details kannst du wohl erstmal vergessen, wichtig ist die letzte Formel.
Siehst du selbst, was bei der Transformation auf Polarkoordinaten die Funktion [mm] $\bold{g}$ [/mm] sein muss? Berechne dann einfach mal ihre Ableitung und du wirst feststellen, dass die Determinante ihrer Ableitung gerade r bzw, mit deinen Bezeichnungen, w ist, wie behauptet.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:16 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Phillipp!
Danke für deine Antwort, doch reichen meine Analysis Kenntnisse leider nicht ganz aus, um es nun alleine zuende zu bringen:
> Siehst du selbst, was bei der Transformation auf Polarkoordinaten die Funktion $ [mm] \bold{g} [/mm] $ sein muss?
Wenn $g(T)$ der Bereich ist, über den zu Beginn integriert wird, dann muss $g(T)$ die Menge der kartesischen Koordinaten und somit [mm] $g(w,\varphi)=(r\cdot cos(\varphi),r\cdot sin(\varphi))$ [/mm] gelten, richtig? Wie leite ich eine solche Funktion nun ab? Kannst du mir da ein wenig auf die Sprünge helfen?
Des Weiteren wundert mich das $f(g(T))$ im Integranden - ich möchte doch am Ende [mm] $f(w,\varphi)$ [/mm] da stehen haben? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Mh, hilf mir bitte nochmal.
Liebe Grüße,
Hanno
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Zu der Transformation von [mm]du \cdot dv[/mm] auf [mm]r \cdot dr \cdot d\varphi[/mm] kann ich dir glaub ich helfen.
Das ganze wird, wenn ich mich richtig erinner, Funktionaldeterminante (oder auf englisch "jacobian") genannt.
Das bestimmt du, indem du die Jacobi-Matrix der Funktion [mm]g(r,\varphi)=(r\cdot cos(\varphi),r\cdot sin(\varphi))[/mm] berechnest, und die sieht ja so aus bei einer Funktion [mm]g=(g_1\ , g_2)[/mm]: [mm]\vektor{grad(g_1) \\ grad(g_2)}[/mm], also in diesem Fall:
[mm]\pmat{ cos(\varphi) & -r \cdot sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & r \cdot cos(\varphi) }[/mm].
Und die Determinante davon kommt bei der Transformation als Faktor "mit dazu" : [mm]r \cdot dr \cdot d\varphi[/mm].
Hoffe, zumindest bei dieser Frage geholfen zu haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Danke für deine Hilfe, jetzt ist's mir klar!
Liebe Grüße,
Hanno
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