Substitution bei Potenzreihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Di 14.12.2004 | | Autor: | sirprize |
Hallöle,
ich soll den Konvergenzradius folgender Potenzreihe berechnen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n^{2}}(x+1)^{3n}[/mm]
Mit Hilfe der Substitution [mm]u=(x+1)^{3} \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n^{2}}u^{n}[/mm] und des Wurzelkriteriums bekomme ich folgendes heraus:
[mm]\bruch{1}{R_{u}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(1-\bruch{3}{n})^{n^{2}}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n}[/mm]
[mm]\Rightarrow R_{u}^{-1} = e^{-3} \gdw R_{u} = e^{3}[/mm]
Jetzt meine Frage: gilt [mm]R_{x} = \wurzel[3]{R_{u}} = e[/mm] oder [mm]R_{x} = \wurzel[3]{R_{u}} - 1 = e - 1[/mm] oder vielleicht was ganz anderes?
Irgendwie verwirrt mich das gerade etwas.
Vielen Dank schonmal für eure Hinweise.
Michael
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 14.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi Michael,
> Hallöle,
>
> ich soll den Konvergenzradius folgender Potenzreihe
> berechnen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n^{2}}(x+1)^{3n}[/mm]
>
> Mit Hilfe der Substitution [mm]u=(x+1)^{3} \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n^{2}}u^{n}[/mm]
> und des Wurzelkriteriums bekomme ich folgendes heraus:
>
> [mm]\bruch{1}{R_{u}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(1-\bruch{3}{n})^{n^{2}}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow R_{u}^{-1} = e^{-3} \gdw R_{u} = e^{3}[/mm]
Da kann ich bisher keinen Fehler entdecken! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt meine Frage: gilt [mm]R_{x} = \wurzel[3]{R_{u}} = e[/mm] oder
> [mm]R_{x} = \wurzel[3]{R_{u}} - 1 = e - 1[/mm]
Naja, nach Cauchy-Hadamard konvergiert die Reihe dann doch für alle $u$ mit [m]|u| < R_u=e^3[/m] und divergiert für alle $u$ mit $|u| > [mm] R_u=e^3$. [/mm] Das wiederum bedeutet (Rücksubstitution [mm] $u=(x+1)^3$):
[/mm]
Die Reihe konvergiert für alle $x$ mit $|x+1| < e$ und divergiert für alle $x$ mit $|x+1| > e$. Also ist [mm] $R_x=e$.
[/mm]
Man hätte die Aufgabe übrigens auch anders angehen können:
Definiere [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n (x+1)^n$ [/mm] durch:
[m]a_n=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }\;n\;\mbox{nicht durch 3 teilbar} \\
\left(1-\bruch{3}{\left[\frac{n}{3}\right]}\right)^{\left[\frac{n}{3}\right]^{2}}, & \mbox{wenn }\;n\;\mbox{ durch 3 teilbar}
\end{matrix}\right.[/m] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Dann gilt offenbar:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n(x+1)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\left(1-\bruch{3}{n}\right)^{n^{2}}(x+1)^{3n}$ [/mm] und wenn man nun die Formel für den Konvergenzradius auf [m]\summe_{n=1}^\infty a_n(x+1)^n[/m] anwendet, so erhält man "sofort" $R=e$ als Konvergenzradius.
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mi 15.12.2004 | | Autor: | sirprize |
Hi Marcel,
vielen Dank für die Antwort und vor allem für die interessante Bemerkung 
Gruss,
Michael
|
|
|
|
