Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 28.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Es gibt keine Exakte Aufgabe. |
Hallo,
in der letzten Übungsstunde hat unser Professor 4 Formeln aufgelegt und ich habe vergessen diese Abzuschreiben. Jetzt bereue ich es, weil ich Aufgaben zu Lösen habe, wo ich genau diese Formeln benötige.
Es waren 4 Formeln für die Substitution von Integralen.
Weiß jemand wie diese Formeln heißen und wo ich sie finden kann im internet?????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Do 28.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Es gibt keine Exakte Aufgabe.
> Hallo,
>
> in der letzten Übungsstunde hat unser Professor 4 Formeln
> aufgelegt und ich habe vergessen diese Abzuschreiben. Jetzt
> bereue ich es, weil ich Aufgaben zu Lösen habe, wo ich
> genau diese Formeln benötige.
>
> Es waren 4 Formeln für die Substitution von Integralen.
hast Du es mal bei Wiki oder Ähnlichem versucht?
>
> Weiß jemand wie diese Formeln heißen und wo ich sie
> finden kann im internet?????
Eigentlich ist Integration durch Substitution ein Verfahren, dafür braucht man keine Formeln.
Am besten, verrätst Du uns um welche Aufgabe(n) es geht und erklärst, wo Du nicht weiter kommst. Wir werden dann schon eine Lösung finden.
>
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 28.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Also wie würdest du diese aufgabe lösen:
[mm] \integral 2e^{3x} [/mm] + [mm] \bruch{3}{x} [/mm] dx
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Do 28.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok. Also wie würdest du diese aufgabe lösen:
>
> [mm]\integral 2e^{3x}[/mm] + [mm]%5Cbruch%7B3%7D%7Bx%7D[/mm] dx
>
> ???
Ohne Substitution:
[mm] \int2e^{3x}+\frac{3}{x}dx
[/mm]
[mm] =2\cdot\int e^{3x}dx+3\cdot\int\frac{1}{x}dx
[/mm]
[mm] =2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}+3\cdot\ln(x)
[/mm]
Speziell zur Substitution schau dich mal bei ![[]](/images/popup.gif) Thomas Brinkmann um.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Fr 29.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Muss da nicht zum schluss noch ein + C hin???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Fr 29.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Muss da nicht zum schluss noch ein + C hin???
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:37 Fr 29.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Jetzt hab ich mal nocheine frage:
Wie würdet ihr dieses Integral berechnen:
[mm] \integral [/mm] sin x [mm] cos^{3} [/mm] x dx
???
Also hier meine lösung:
Ich verwende diese Formel: [mm] \integral (\delta(t))^{n}*\delta'(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+n} [\delta(t)^{n+1}]
[/mm]
Dann sieht obige Aufgabe so aus:
[mm] \integral [/mm] sin x [mm] cos^{3} [/mm] x dx = [mm] -\integral [/mm] -sinx [mm] cos^{3} [/mm] x dx = [mm] \bruch{1}{4} [cos^{4}x] [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} cos^{4} [/mm] + C
und von dieser obigen Formel gibt es insgesamt glaub ich 4 stück.
aber einer meiner kommillitoren hat vorhin gemeint sie schickt sie mir. wenn ich sie hab werd ich sie euch posten.
danke schonmal für eure hilfe :-D
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Du hast zum Schluß das Vorzeichen ignoriert.
Die unbestimmte Integration (Integration ohne Grenzen) liefert eine Stammfunktion, keine reelle Zahl. Die eckigen Klammern, die man schreibt, bevor man die Differenz der Werte der Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze bildet, ist hier daher unangebracht.
Ob man bei der Stammfunktion ein [mm]+C[/mm] hinschreiben darf, soll oder muß - der Streit ist alt. Ich bin der Ansicht, man braucht es nicht hinzuschreiben, weil jeder weiß, daß die unbestimmte Integration ein nur bis auf eine additive Konstante eindeutiges Ergebnis liefert. Aber darüber könnte man stundenlang diskutieren ...
EDIT
Und gerade sehe ich, daß fred97 die gegenteilige Ansicht vertritt. Am Karfreitag werde ich aber keinen Streit mit ihm anfangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 29.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Du hast zum Schluß das Vorzeichen ignoriert.
> Die unbestimmte Integration (Integration ohne Grenzen)
> liefert eine Stammfunktion, keine reelle Zahl. Die eckigen
> Klammern, die man schreibt, bevor man die Differenz der
> Werte der Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze
> bildet, ist hier daher unangebracht.
> Ob man bei der Stammfunktion ein [mm]+C[/mm] hinschreiben darf,
> soll oder muß - der Streit ist alt. Ich bin der Ansicht,
> man braucht es nicht hinzuschreiben, weil jeder weiß, daß
> die unbestimmte Integration ein nur bis auf eine additive
> Konstante eindeutiges Ergebnis liefert. Aber darüber
> könnte man stundenlang diskutieren ...
>
> EDIT
> Und gerade sehe ich, daß fred97 die gegenteilige Ansicht
> vertritt. Am Karfreitag werde ich aber keinen Streit mit
> ihm anfangen.
..... und nach Ostern ... ?
Ich schreibe auch nie +C. Mir ist aber bekannt, dass es pingelige (Hochschul-) Lehrer gibt, die das fordern.
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Fr 29.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Was für ein Vorzeichen ignoriere ich????
Ich finde im zweiten Semester sollte man das + C auf jeden fall noch hinschreiben... wenn ich irgendwann mal soweit bin wie ihr dann werde ich vllt das "pingelige" zeug auch weglassen... aber noch finde ich es für angebracht das + C hinzuschreiben.
Wie wäre meine obige aufgabe formel korrekt gelöst????
übrigens hier die formeln die ich gesucht habe:
Also eine habe ich oben schon gepostet
2. [mm] \integral [/mm] f(g(x))*g'(x) dx = [mm] \integral [/mm] f(u) du
Dabei gilt: u=g(x) und [mm] dx=\bruch{du}{g'(x)}
[/mm]
3. [mm] \integral [/mm] f(ax+b) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] F(ax+b) +C
3. [mm] \integral \bruch{g'(x)}{g(x)} [/mm] dx = ln|g(x)|+C
Diese Formeln hab ich gesucht.
Danke trotzdem für eure hilfe. Ich weiß nicht wie ich mein studium ohne euch bewältigen könnte.... VIELEN VIELEN DANK!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 29.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Was für ein Vorzeichen ignoriere ich????
Die Ableitung con cos(x) ist - sin(x)
FRED
>
> Ich finde im zweiten Semester sollte man das + C auf jeden
> fall noch hinschreiben... wenn ich irgendwann mal soweit
> bin wie ihr dann werde ich vllt das "pingelige" zeug auch
> weglassen... aber noch finde ich es für angebracht das + C
> hinzuschreiben.
>
> Wie wäre meine obige aufgabe formel korrekt gelöst????
>
> übrigens hier die formeln die ich gesucht habe:
>
> Also eine habe ich oben schon gepostet
>
> 2. [mm]\integral[/mm] f(g(x))*g'(x) dx = [mm]\integral[/mm] f(u) du
>
> Dabei gilt: u=g(x) und [mm]dx=\bruch{du}{g'(x)}[/mm]
>
> 3. [mm]\integral[/mm] f(ax+b) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] F(ax+b) +C
>
> 3. [mm]\integral \bruch{g'(x)}{g(x)}[/mm] dx = ln|g(x)|+C
>
> Diese Formeln hab ich gesucht.
>
> Danke trotzdem für eure hilfe. Ich weiß nicht wie ich
> mein studium ohne euch bewältigen könnte.... VIELEN
> VIELEN DANK!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Fr 29.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Du hast zum Schluß das Vorzeichen ignoriert.
> Die unbestimmte Integration (Integration ohne Grenzen)
> liefert eine Stammfunktion, keine reelle Zahl. Die eckigen
> Klammern, die man schreibt, bevor man die Differenz der
> Werte der Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze
> bildet, ist hier daher unangebracht.
> Ob man bei der Stammfunktion ein [mm]+C[/mm] hinschreiben darf,
> soll oder muß - der Streit ist alt. Ich bin der Ansicht,
> man braucht es nicht hinzuschreiben, weil jeder weiß, daß
> die unbestimmte Integration ein nur bis auf eine additive
> Konstante eindeutiges Ergebnis liefert. Aber darüber
> könnte man stundenlang diskutieren ...
eigentlich nicht. Man sollte halt klar definieren, was man unter einem
unbestimmten Integral verstehen will. Will man "eine Stammfunktion" darunter
verstehen, oder die Menge aller Stammfunktionen, oder "einen Repräsentanten
der Menge aller Stammfunktionen" einer Funktion (was eigentlich wieder das
gleiche ist wie das zuerst gesagte, aber oft identifiziert man schon wieder
Repräsentanten mit dem, was sie repräsentieren, und damit ist man, wenn
man letzteres benutzt, oft schnell aus dem Schneider. Weil man jedes Mal,
wenn jemand Kritik äußert, sagen kann: "Ja, da meinte ich nun einen
Repräsentanten..." "Nein, da meinte ich die Klasse aller Stammfunktionen.
Diese wird ja nur durch den Repräsentanten verkürzt notiert..." So ähnlich,
wie man halt etwa [mm] $5/12\,$ [/mm] mit [mm] $10/24\,$ [/mm] identifiziert, weil sie ja die selbe
"Menge von Brüchen" beschreiben...
Und wem das ganze "jetzt etwas kuriös vorkommt": Naja, wie schreibt man
denn auch etwa Funktionen des [mm] $L^2\,,$ [/mm] welches ja eigentlich keine
Funktionen direkt sind - sie haben halt Repräsentanten, die Funktionen sind,
und diese Repräsentanten sind [mm] $\in \mathcal{L}^2\,.$ [/mm] Und trotzdem redet
man von einer Funktion $f [mm] \in L^2\,,$ [/mm] anstatt $[f] [mm] \in L^2\,.$ [/mm] Und manchmal
rechnet man dann doch mit $f [mm] \in \mathcal{L}^2\,.$ [/mm] D.h. hier hat [mm] $f\,$ [/mm]
einmal die Bedeutung einer Funktion, und einmal die der zugehörigen
Äquivalenzklasse. Und der einzige Grund, warum man nicht ständig [mm] $f\,$ [/mm] und
[mm] $[f]\,$ [/mm] schreibt, was das unterscheiden würde, ist ein wenig "Faulheit", weil
man sich sagt: "Aus dem Zusammenhang weiß man ja, was ich da jeweils
meine..." Und wenn man ein wenig sucht, findet man doch Autoren, die da
tatsächlich (didaktisch sauber) unterscheiden und nicht auch [mm] $f\,$ [/mm] für [mm] $[f]\,$
[/mm]
schreiben...).
Bei Wiki steht's doch schön, was es mit der Integrationskonstanten auf sich hat,
und wie sie zu interpretieren sein soll, wenn sie denn auftaucht.
So mal nebenbei: Was macht man denn eigentlich, wenn man eine Funktion auf
einer nichtzusammenhängenden Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] definiert hat, die dort
aber dennoch eine Stammfunktion hat? Denn dann stimmt das mit der konstanten
Funktion so ja gar nicht mehr - bspw. kann man mal [mm] $f\colon [/mm] (-1,0) [mm] \cup [/mm] (1,2)$ mit [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] betrachten.
Dann ist auch mit [mm] $g(x):=\tfrac{1}{2}x^2+2$ [/mm] für $-1 < x < [mm] 0\,$ [/mm] und [mm] $g(x):=\tfrac{1}{2}x^2+303$ [/mm] für $1 < x [mm] <2\,$ [/mm] sicher
[mm] $g\,'=f\,.$ [/mm] Dass aber $g [mm] \not=f+c\,$ [/mm] für eine konstante [mm] $c\,$ [/mm] ist, steht außer
Frage!
Ich plädiere eigentlich dafür, dass man diese Konstante nur dann hinschreiben
soll, wenn man weiß, welchen Sinn sie hat bzw. wenn sie "auch einen Wert"
hat (damit meine ich nur, dass sie "didaktisch wertvoll" sein 'könnte') - und
das ist situationsabhängig. Bzw. wenn man es dann richtig macht und weiß,
was man tut, weiß man auch selber, "wie man es richtig zu machen hat".
Aber das eigentlich Fazit ist: Wenn man Integrationskonstanten benutzt,
sollte es aus dem Zusammenhang her schon sinnvoll sein. (Siehe etwa obiges
Beispiel, wo das nicht so wirklich sinnvoll wäre). Im Endeffekt kann man sie
aber (sofern es aus dem Zusammenhang auch Sinn macht) benutzen, oder
auch weglassen. Das Beste meiner Meinung nach ist halt, mit Worten zu
ergänzen, was man wie meint. Dann hat man den ganzen Huddel nicht! (In
meiner Schulzeit war das Weglassen von Integrationskonstanten übrigens
IMMER ein Fehler. Aber das erschließt sich mir genauso wenig, wie, dass es
dort ein Fehler war, einen Vektor mit [mm] $v\,$ [/mm] zu bezeichnen: Man musste [mm] $\vec{v}$
[/mm]
schreiben... Aber dazu habe ich ja schonmal irgendwo was geschrieben!)
Gruß,
Marcel
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Während ich den folgenden Beitrag verfaßt habe, hast du inzwischen deine Mitteilung losgeschickt. Ich werde den Beitrag aber nicht mehr ändern. Ich glaube, deine und meine Ansichten ergänzen sich.
Ich halte das [mm]+C[/mm] für eine Mogelpackung. Letztlich liefert das unbestimmte Integral eine von unendlich vielen Stammfunktionen. Auch wenn ich [mm]+C[/mm] hinschreibe, ist es nur eine, nur lege ich mich hier nicht auf eine bestimmte fest. Eine korrekte Definition müßte folgendermaßen lauten (dabei gehe ich von einer auf einem Intervall definierten stetigen Funktion [mm]f[/mm] aus)
[mm]\int f(x) ~ \mathrm{d} x = \left\{ \, F \, \left| \, F'=f \, \right. \right\} = \left\{ \, F_0 + C \, \left| \, C \in \mathbb{R} \, \right. \right\}[/mm] mit einer fest gewählten Funktion [mm]F_0[/mm], für die [mm]{F_0}'=f[/mm] gilt
Nur wer macht das schon! Das unbestimmte Integral als Funktionenmenge aufzufassen! Und so schreibt man hilfsweise ein einziges Element der Funktion hin: ob man das nun [mm]F_0[/mm] oder [mm]F_0+C[/mm] nennt, ist gehopst wie gesprungen. Es ist im strengen Sinn so oder so falsch. Denn eine Menge ist nie gleich einem ihrer Elemente. Man muß in diesem Zusammenhang halt beachten, daß das Gleichheitszeichen nicht das gewöhnliche Gleichheitszeichen ist, sondern "Gleichheit bis auf eine additive Konstante" bedeutet. Es steckt also letztlich eine Äquivalenzklassenbildung dahinter.
In der Bruchrechnung käme ja auch niemand auf die Idee, das Ergebnis einer Rechnung als
[mm]\frac{2 \cdot C}{3 \cdot C}[/mm] mit einem [mm]C \in \mathbb{Z}^{\*}[/mm]
anzugeben. Und jeder Mathematiker weiß, daß er aus der Gleichheit der Zahlenpaare, die durch Zähler und Nenner bestimmt sind, nicht auf die Gleichheit von Zähler und Nenner schließen darf, sondern nur auf die Gleichheit modulo einem konstanten Faktor:
[mm]\frac{a}{b} = \frac{p}{q} \ \ \not \Rightarrow \ \ a=p \ \wedge \ b=q[/mm]
Es gilt nur:
[mm]\frac{a}{b} = \frac{p}{q} \ \ \Rightarrow \ \ \exists \, C \neq 0: \ p = a \cdot C \ \wedge \ q = b \cdot C[/mm]
Und so darf man aus der Gleichheit zweier durch unbestimmte Integration entstandener Funktionen nicht auf ihre Gleichheit, sondern nur auf ihre Gleichheit modulo einem konstanten Summanden schließen.
Und jetzt bin ich das doch einmal losgeworden, obwohl ich eigentlich gar nicht wollte ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Fr 29.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Leopold,
> Während ich den folgenden Beitrag verfaßt habe, hast du
> inzwischen deine Mitteilung losgeschickt. Ich werde den
> Beitrag aber nicht mehr ändern. Ich glaube, deine und
> meine Ansichten ergänzen sich.
ich hab's nur mal schnell überflogen, aber ja, ich denke, dass sie das tun. Das
[mm] $+C\,$ [/mm] sehe ich auch nur als "Mogelpackung" (besser passt vielleicht das
Wort "Eselsbrücke"), und in der Tat sehe ich das unbestimmte Integral als
die von Dir beschriebene Menge an. Was ich halt noch ergänzt habe, ist, dass
man halt manchmal "Äquivalenzklassen und (einen) ihre(r) Repräsentanten"
quasi "gleichwertig" benutzt - Du hast das mit den Brüchen noch erwähnt,
ich habe zudem nochmal an ein anderes Gebiet erinnert - hier jetzt nur die
Räume [mm] $L^2$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{L}^2\,.$ [/mm] Die Frage bei
[mm] $$\int [/mm] f(x)dx=F(x)+C$$
für eine Stammfunktion [mm] $F\,$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] ist eigentlich: Welchen Stellenwert,
außer einer Eselsbrücke, hat denn das [mm] $C\,$? [/mm] Ist es als Parameter anzusehen?
(Dann frage ich mich nach dem Sinn, denn dann habe ich nur eine andere
feste Stammfunktion.) Oder ist es als Variable anzusehen? (Und was
würde das bedeuten?) Ich sehe nur den von Dir und mir beschriebenen Sinn,
bzw. dass es halt eine Eselsbrücke ist!
> Ich halte das [mm]+C[/mm] für eine Mogelpackung. Letztlich liefert
> das unbestimmte Integral eine von unendlich vielen
> Stammfunktionen. Auch wenn ich [mm]+C[/mm] hinschreibe, ist es nur
> eine, nur lege ich mich hier nicht auf eine bestimmte fest.
> Eine korrekte Definition müßte folgendermaßen lauten
> (dabei gehe ich von einer auf einem Intervall definierten
> stetigen Funktion [mm]f[/mm] aus)
>
> [mm]\int f(x) ~ \mathrm{d} x = \left\{ \, F \, \left| \, F'=f \, \right. \right\} = \left\{ \, F_0 + C \, \left| \, C \in \mathbb{R} \, \right. \right\}[/mm]
> mit einer fest gewählten Funktion [mm]F_0[/mm], für die [mm]{F_0}'=f[/mm]
> gilt
>
> Nur wer macht das schon! Das unbestimmte Integral als
> Funktionenmenge aufzufassen!
Vor allen Dingen: Erkläre mal Schülern, dass sie nun eigentlich mit Mengen
rechnen. 
> Und so schreibt man hilfsweise
> ein einziges Element der Funktion hin: ob man das nun [mm]F_0[/mm]
> oder [mm]F_0+C[/mm] nennt, ist gehopst wie gesprungen. Es ist im
> strengen Sinn so oder so falsch. Denn eine Menge ist nie
> gleich einem ihrer Elemente. Man muß in diesem
> Zusammenhang halt beachten, daß das Gleichheitszeichen
> nicht das gewöhnliche Gleichheitszeichen ist, sondern
> "Gleichheit bis auf eine additive Konstante" bedeutet. Es
> steckt also letztlich eine Äquivalenzklassenbildung
> dahinter.
>
> In der Bruchrechnung käme ja auch niemand auf die Idee,
> das Ergebnis einer Rechnung als
>
> [mm]\frac{2 \cdot C}{3 \cdot C}[/mm] mit einem [mm]C \in \mathbb{Z}^{\*}[/mm]
>
> anzugeben. Und jeder Mathematiker weiß, daß er aus der
> Gleichheit der Zahlenpaare, die durch Zähler und Nenner
> bestimmt sind, nicht auf die Gleichheit von Zähler und
> Nenner schließen darf, sondern nur auf die Gleichheit
> modulo einem konstanten Faktor:
>
> [mm]\frac{a}{b} = \frac{p}{q} \ \ \not \Rightarrow \ \ a=p \ \wedge \ b=q[/mm]
>
> Es gilt nur:
>
> [mm]\frac{a}{b} = \frac{p}{q} \ \ \Rightarrow \ \ \exists \, C \neq 0: \ p = a \cdot C \ \wedge \ q = b \cdot C[/mm]
>
> Und so darf man aus der Gleichheit zweier durch unbestimmte
> Integration entstandener Funktionen nicht auf ihre
> Gleichheit, sondern nur auf ihre Gleichheit modulo einem
> konstanten Summanden schließen.
>
> Und jetzt bin ich das doch einmal losgeworden, obwohl ich
> eigentlich gar nicht wollte ...
Sorry!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Fr 29.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Sehr verständlich und gut erklärt. Danke.
Jetzt mal auf zweitsemesterstudentendeutsch:
Ich schreibe das so hin: [mm] \integral [/mm] ... dx = ... + C und ich meine, dass hier gleichheit gilt bis auf eine additive konstante.
richtig????
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Ja. Erst wenn du Ergebnisse der unbestimmten Integration vergleichst, wirkt sich das aus. Schönes Beispiel (für Pingelige: die eckigen Klammern sind Klammern der Metasprache):
[mm]\int 2 \sin x \cos x ~ \mathrm{d}x = \sin^2 x \ [\ + C\ ][/mm]
[mm]\int 2 \sin x \cos x ~ \mathrm{d}x = - \cos^2 x \ [\ + C\ ][/mm]
Beide Zeilen sind richtig, wie man sofort durch Differenzieren der rechten Seite nachweist.
Und jetzt?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Fr 29.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
keine ahnung was... und jetzt?
Ich verstehe schon was du meinst... wir haben solch eine ähliche aufgabe auch schon in den übungen gehabt....
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Ich meinte nur, was folgerst du aus den beiden Zeilen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Fr 29.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
worauf Leopold hinaus wollte, zeig' ich Dir einfach an einem "noch einfacheren"
Beispiel:
Es gilt sowohl
[mm] $$\red{\int 1dx}=x\,$$
[/mm]
als auch
[mm] $$\blue{\int 1dx}=x+7\,.$$
[/mm]
Die Offensichtlichkeit von [mm] $\red{\int 1dx}=\blue{\int 1dx}$ [/mm] führt dann aber
zu welchem Trugschluss?
Nebenbei: Auch hier muss man ja eigentlich schon aufpassen, denn wirklich
besser würde man etwa sowas schreiben:
[mm] $$\int 1dx=\text{id}\,.$$
[/mm]
Aber das ist ja bekannt, dass man von der Funktion [mm] $x\,$ [/mm] spricht und dann
etwa eigentlich die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=x$ für alle
$x [mm] \in \IR$ [/mm] meint.
Manche schreiben daher auch etwa sowas:
[mm] $$\int [/mm] 1dx=(I [mm] \ni [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] t [mm] \in \IR)\,,$$
[/mm]
wenn "die Funktion [mm] $1\,$" [/mm] auf dem Intervall [mm] $I\,$ [/mm] definiert ist.
Was mich - ehrlich gesagt - sogar in der Schule auch oft verwirrte, ist
[mm] $$\int f(\red{x}) d\red{x}=F(\red{x})\,.$$
[/mm]
Ich schreibe sowas tatsächlich eher lieber so:
[mm] $$\int f(\red{t})d\red{t}=F(x)\,.$$
[/mm]
Bzw. am liebsten sogar so
[mm] $$\int f=F\,.$$
[/mm]
Denn was ist eigentlich der Inhalt dieser Gleichung? Der Inhalt ist:
Für die (wohl auf einem Intervall $I [mm] \subseteq \IR$) [/mm] definierte Funktion $f [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$
[/mm]
ist durch $F [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] dann [mm] $F\,$ [/mm] EINE Stammfunktion. (Diese ist ("nur") eindeutig,
bis auf eine additive Konstante, wobei letzteres eigentlich wiederum
eine "auf [mm] $I\,$ [/mm] konstante Funktion" meint).
P.S. Ein Hinweis, der "die von Leopold suggerierte Gleichheit", auf die er
Dich bringen wollte, "rechtfertigt": Es gilt der trigonometrische Pythagoras
[mm] $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\;\;\;\text{ für alle }x\,.$$
[/mm]
Diese "Gleichheit" (auf die Leopold Dich bringen wollte), die ja in dem
Sinne eigentlich keine wirkliche Gleichheit ist (denn Stammfunktionen sind
nur eindeutig bis...) erklärt sich damit... wie? (Naja: Eigentlich habe ich es
ja schon fast geschrieben - mal anders gefragt: Was "fehlt" bei der
Gleichheit eigentlich?)
P.P.S. Bei der "Gleichheit" meine ich AN KEINER STELLE den obigen trigonometrischen
Pythagoras - an dem gibt's nix zu rütteln...
Gruß,
Marcel
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