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| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Integral mit Hilfe der Substitution:
[mm] \integral_{-1}^{0}{\wurzel{x^2+x^3} dx}
[/mm]
Mein Ansatz ist: [mm] U=\wurzel{x}
[/mm]
du/dx=1/2udu |
Guten Abend zusammen,
mein Problem ist das ich nach der Integration und dem einsetzen der Integrationsgrenzen eine Komplexe Zahl raus bekomme und das kann ja eig. nicht sein. Kann mir evtl. jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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> Lösen Sie folgendes Integral mit Hilfe der Substitution:
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{x^2+x^3} dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz ist: [mm]U=\wurzel{x}[/mm]
> du/dx=1/2udu
> Guten Abend zusammen,
>
> mein Problem ist das ich nach der Integration und dem
> einsetzen der Integrationsgrenzen eine Komplexe Zahl raus
> bekomme und das kann ja eig. nicht sein. Kann mir evtl.
> jemand weiterhelfen?
Ich glaube kaum, dass dich diese Substitution weiter
bringen wird.
Ich würde es mal mit [mm] u:=\sqrt{1+x} [/mm] versuchen !
LG, Al-Chw.
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Hallo JamesDean,
> Lösen Sie folgendes Integral mit Hilfe der Substitution:
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{x^2+x^3} dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz ist: [mm]U=\wurzel{x}[/mm]
> du/dx=1/2udu
Das ist nicht lesbar und so nicht zu kontrollieren. Was macht das "du" auf der rechten Seite?
> mein Problem ist das ich nach der Integration und dem
> einsetzen der Integrationsgrenzen eine Komplexe Zahl raus
> bekomme und das kann ja eig. nicht sein. Kann mir evtl.
> jemand weiterhelfen?
Mir ist rätselhaft, wie Du mit Deiner Substitution überhaupt eine Lösung gefunden hast.
Ich würde den Integranden erstmal umschreiben zu [mm] x\wurzel{x+1}.
[/mm]
Dann kommst Du mit der Substitution u=x+1 und wenigen Umformungen schnell weiter.
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
Ja, wo denn?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 06.12.2012 | | Autor: | JamesDean |
Servus,
sollte eig [mm] du/dx=1/2\wurzel{x} [/mm] heißen sorry. Danke schön für die Hilfe ich denke mit der Substitution werde ich weiter kommen.
Mfg
J.Dean
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo reverend,
>
> > Lösen Sie folgendes Integral mit Hilfe der Substitution:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{x^2+x^3} dx}[/mm]
> >
>
> Ich würde den Integranden erstmal umschreiben zu
> [mm]x\wurzel{x+1}.[/mm]
Besser: [mm] $-x\sqrt{1+x}\,,$ [/mm] weil [mm] $-1\le [/mm] x [mm] \le 0\;.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Do 06.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
> > Ich würde den Integranden erstmal umschreiben zu
> > [mm]x\wurzel{x+1}.[/mm]
>
> Besser: [mm]-x\sqrt{1+x}\,,[/mm] weil [mm]-1\le x \le 0\;.[/mm]
Stimmt natürlich. Danke!
Grüße
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Lösen Sie folgendes Integral mit Hilfe der Substitution:
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{x^2+x^3} dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz ist: [mm]U=\wurzel{x}[/mm]
> du/dx=1/2udu
> Guten Abend zusammen,
>
> mein Problem ist das ich nach der Integration und dem
> einsetzen der Integrationsgrenzen eine Komplexe Zahl raus
> bekomme und das kann ja eig. nicht sein. Kann mir evtl.
> jemand weiterhelfen?
Hallo JamesDean,
Deine Substitution kann schon deswegen nicht funktionieren, weil Du mit [mm] $\sqrt [/mm] x$ die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehst. Und dies erklärt auch das plötzliche Auftauchen komplexer Zahlen. Beachte: Für [mm] $-1\le x\le [/mm] 0$ ist [mm] $\sqrt {x^2+x^3} [/mm] = [mm] -x*\sqrt {1+x}\,.$ [/mm] Und hier bietet sich nach Königsberger, Analysis I, S. 209 die Substitution [mm] $u=\sqrt{1+x}$ [/mm] an.
liebe Grüße,
Wolfgang
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> .... Und hier bietet sich nach Königsberger, Analysis I, S. 209
> die Substitution [mm]u=\sqrt{1+x}[/mm] an.
Mit einem Quentchen (sorry, nach neuer Rechtschreibung
Quäntchen - allerdings etymologisch daneben) Intuition
kann man da auch selber drauf kommen ...
"Königsberger" - noch nie gehört - mir wäre da z.B.
Immanuel Kant eingefallen, aber in Analysis war der
doch nicht auch noch dabei ?
LG, Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Do 06.12.2012 | | Autor: | JamesDean |
Leider nicht, wenn einer mir ein gutes Buch oder eine gute Internetseite empfehlen kann, zur Integralen Substitution wäre ich sehr dankbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Al,
> > .... Und hier bietet sich nach Königsberger, Analysis I,
> S. 209
> > die Substitution [mm]u=\sqrt{1+x}[/mm] an.
>
>
> Mit einem Quentchen (sorry, nach neuer Rechtschreibung
> Quäntchen - allerdings etymologisch daneben) Intuition
> kann man da auch selber drauf kommen ...
Aber wenn man die noch nicht hat, helfen einem solche Bücher wie der ...
>
> "Königsberger" - noch nie gehört - mir wäre da z.B.
> Immanuel Kant eingefallen, aber in Analysis war der
> doch nicht auch noch dabei ?
Weiß ich nicht. Aber gelebt im 18. Jahrhundert, Zeitgenosse Eulers, beschäftigt mit Newtons Mechanik, eine Theorie des Himmels veröffentlicht, da wird Kant wohl kaum an der Analysis vorbeigekommen sein.
Aber ich meinte jetzt nicht den Königsberger Kant sondern den Konrad Königsberger, der in seiner Analysis den Schwerpunkt auf das "Wie" legt, wobei er durchaus hin und wieder vergißt, seine Verfahren zu begründen. Aber die Lücken konnte ich bisher alle, zum Teil mit Hilfe dieses Forums, für mich schließen. Na ja, fast alle. Ich hänge gerade bei der Reduktion elliptischer Integrale auf Normalformen.
Übrigens, auch die Substitution von JamesDean [mm] $u=\sqrt [/mm] x$ würde das Integral -- über Umwege -- lösen, wenn der Integrationsbereich nicht negativ wäre. Aber so gleitet er ins Komplexe ab.
$u = [mm] \sqrt [/mm] x$ führt auf [mm] $\int 2\sqrt {1+u^2} u^3 [/mm] du$ und jetzt [mm] $u=\sinh [/mm] t$ und schließlich [mm] $s=e^t$ [/mm] ergibt bei positivem Integrationsbereich eine rationale Funktion als Integranden. Alles nach Königsberger.
Grüße,
Wolfgang
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