Substitution < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:[0,\infty)\to [0,\infty) [/mm] stetig diffbar und bijektiv. Dann ist f streng monoton wachsend und f(0)=0
Zeigen sie, dass für jedes a>0 gilt:
[mm] \int_{0}^{a} f(t)\, [/mm] dt + [mm] \int_{0}^{f(a)} f^{-1}(t)\, [/mm] dt=a* f(a)
Hinweis:
Substituieren sie im linken Integral [mm] t=f^{-1}(s) [/mm] |
Hi Matheforum,
also irgendwie hakt es bei der Aufgabe!
Also wenn ich substituiere bekomme ich
[mm] \int_{0}^{} [/mm] f( [mm] f^{-1}(s))*f'^{-1}(s)\, [/mm] ds
So nun weiss ich aber weder wie meine obere grenze lautet (hatte überlegt es könnte sowas wie [mm] f^{-1}(a) [/mm] sein) noch wie mich das ganze weiterbringt noch was f'^{-1}(s) eigentlich ist! Fragen über Fragen vielleicht kann mir ja jemand helfen!!
Lg Jule
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
1.
> $ [mm] \int_{0}^{} [/mm] $ f( $ [mm] f^{-1}(s))\cdot{}f'^{-1}(s)\, [/mm] $ ds
[mm] $(f^{-1})'$ [/mm] ist nicht das gleiche wie [mm] $(f')^{-1}$. [/mm] Zeig das mal am Beispiel
[mm] $f(x)=x^2$
[/mm]
2.
> So nun weiss ich aber weder wie meine obere grenze lautet (hatte
an der oberen Grenze gilt t=f(a),
[mm] $t=f^{-1}(s)$,
[/mm]
also gilt an der Grenze für s:
[mm] $f^{-1}(s)=f(a)$
[/mm]
3.
Die Substitution ist schlecht (ich seh nicht, was sie soll).
t=f(s) hingegen hilft unmittelbar. Ich nehm an, das ist ein Schreibfehler.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Jule2 |
> Hi,
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> 1.
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> > [mm]\int_{0}^{}[/mm] f( [mm]f^{-1}(s))\cdot{}f'^{-1}(s)\,[/mm] ds
>
> [mm](f^{-1})'[/mm] ist nicht das gleiche wie [mm](f')^{-1}[/mm]. Zeig das mal
> am Beispiel
> [mm]f(x)=x^2[/mm]
ja sorry das war ein Schreibfehler! Für [mm] x^2 [/mm] wäre dass dann entweder [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] oder [mm] \bruch{-2}{x^3} [/mm] kann ich denn die Ableitung bestimmen in dem ich [mm] \bruch{1}{f(s)} [/mm] mit der Quotientenregel ableite??
>
> 2.
>
> > So nun weiss ich aber weder wie meine obere grenze lautet
> (hatte
>
> an der oberen Grenze gilt t=f(a),
> [mm]t=f^{-1}(s)[/mm],
> also gilt an der Grenze für s:
> [mm]f^{-1}(s)=f(a)[/mm]
Aber wieso denn t=f(a) da gilt doch t=a ??
> 3.
> Die Substitution ist schlecht (ich seh nicht, was sie
> soll).
> t=f(s) hingegen hilft unmittelbar. Ich nehm an, das ist ein
> Schreibfehler.
>
>
> ciao
> Stefan
Danke und Lg Jule
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> ja sorry das war ein Schreibfehler! Für $ [mm] x^2 [/mm] $ wäre dass dann entweder $ [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] $ oder $ [mm] \bruch{-2}{x^3} [/mm] $
???
[mm] $f^{-1}$ [/mm] ist die *Umkehrfunktion* von f,
und *nicht*
[mm] $\frac [/mm] 1{f(x)}$
> Aber wieso denn t=f(a) da gilt doch t=a ??
Nicht laut Deiner Angabe:
$ [mm] \int_{0}^{f(a)} f^{-1}(t)\, [/mm] dt$
Da steht definitiv ein f(a) in der oberen Grenze.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 14.02.2012 | | Autor: | Jule2 |
Aber es geht doch ums linke Integral nicht ums rechte!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Di 14.02.2012 | | Autor: | Blech |
aaahh,
das erklärt auch, warum die Substitution [mm] $t=f^{-1}(s)$ [/mm] ist. =)
Ja, dann ist es
[mm] $t=f^{-1}(s)=a$, [/mm]
also $s=f(a)$.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 14.02.2012 | | Autor: | Jule2 |
So hab da jetzt noch mal drüber nachgedacht und bin zu vollgendem Ergebnis gekommen hoffe das ist so ok!
[mm] \int_{0}^{f(a)}f(f^{-1}(s))\cdot{}f^{-1}(s)'\,ds+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(t)\,dt
[/mm]
Durch partielle Integration im linken Integral bekomme ich dann
[mm] s*f^{-1}(s) ]_0^{f(a)}-\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(s)\,ds+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(t)\,dt
[/mm]
[mm] =f(a)*a-\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(s)\,ds+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(t)\,dt
[/mm]
kann ich denn nun sagen dass das linke Integral gleich dem rechten ist und durch das minus sich die beiden Integrale aufheben weil einmal Integriere ich ja nach ds und einmal nach dt aber halt in den selben Grenzen??
Lg Jule
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Hiho,
> [mm]=f(a)*a-\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(s)\,ds+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(t)\,dt[/mm]
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> kann ich denn nun sagen dass das linke Integral gleich dem
> rechten ist und durch das minus sich die beiden Integrale
> aufheben weil einmal Integriere ich ja nach ds und einmal
> nach dt aber halt in den selben Grenzen??
die Integrationsvariable ist doch eben "nur" eine Variable, die du beliebig ändern kannst. Wenn du es "formal" lösen möchtest, kannst du natürlich auch die Variable substituieren 
Die Integrationsvariable ist ja nur ein Symbol für das Argument der Funktion, die du integrierst. Wie du dieses Symbol dann nennst, ist deine Sache.
Also um deine Frage zu beantworten: Ja, die Integrale sind gleich.
MFG,
Gono.
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