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| Aufgabe | | Bestimme [mm] \integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}} dx} [/mm] |
Hallo. Ich habe x=sinh(t) substituiert:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}}dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{cosh(t)cosh(t)dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t}})dt
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}dt+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}\bruch{1}{2}(e^{2t}+e^{-2t})}dt
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{cosh(2t)}dt
[/mm]
Angenommen ich habe bis hier keinen Fehler gemacht, wie geht es dann weiter?
Die Stammfunktion zu cosh(2t) ist doch [mm] \bruch{sinh(2t)}{2}. [/mm] Das Ergebnis sollte aber lauten:
[mm] \bruch{1}{2}(x\wurzel[]{1+x^2}+arcsinh(x))
[/mm]
wie komme ich dort hin?
Grüße, kullinarisch
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Hallo,
> Bestimme [mm]\integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}} dx}[/mm]
> Hallo. Ich
> habe x=sinh(t) substituiert:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}}dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{cosh(t)cosh(t)dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t}})dt[/mm]
>
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> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}dt+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}\bruch{1}{2}(e^{2t}+e^{-2t})}dt[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{cosh(2t)}dt[/mm]
>
> Angenommen ich habe bis hier keinen Fehler gemacht, wie
> geht es dann weiter?
Bis hierher ist meiner Ansicht nach alles richtig.
> Die Stammfunktion zu cosh(2t) ist doch [mm]\bruch{sinh(2t)}{2}.[/mm]
> Das Ergebnis sollte aber lauten:
Auch das ist richtig.
> [mm]\bruch{1}{2}(x\wurzel[]{1+x^2}+arcsinh(x))[/mm]
>
> wie komme ich dort hin?
Das Problem ist beim Rücksubstituieren der Ausdruck
sinh(2*arsinh(t))
Ich denke, da hilft im Zweifelsfall nur, die sinh-Funktion auszuschreiben und Potenzgesetze anzuwenden. Denn irgendwie muss aus der 2 ja wieder eine Wurzel werden...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 02.02.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. [mm] $\sinh(2t)=2\cosh(t)\sinh(t)$
[/mm]
2. [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$
[/mm]
ciao
Stefan
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Okay mit [mm] \sinh(2t)=2\cosh(t)\sinh(t) [/mm] ist es klar. Nach Einsetzen erhalte ich dann [mm] x\wurzel[]{1+x^{2}}, [/mm] vielen Dank.
Ich kann mir nur all diese Additionstheoreme nicht merken, in der Klausur bin ich aufgeschmissen. Es sei denn, ich kann ohne Punktabzug mein letztes Ergebnis so stehen lassen.
Grüße, kulli
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