Substitution < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
| Aufgabe | | [mm] 4x^4+2x^2+3 [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
zur morgigen Klausur wollte ich das Thema subtitution nochmal wiederholen, bleibe jedoch an o.g. Aufgabe hängen.
Meine Rechnung sieht wie folgt aus
[mm] 4x^4+2x^2+3
[/mm]
[mm] x^2=u
[/mm]
[mm] 4u^2+2u+3
[/mm]
P-Q
[mm] 4u^2+2u+3 [/mm] /4
[mm] u^2 [/mm] + 0,5 u +0,75u
Hier erkenne ich schon, dass die Wurzel negativ sein wird, jedoch ist das Ergebnis als 1 und 4 angebeben.
Ich würde euch bitten, mir meinen Fehler aufzuzeigen.
Fraglich ist mir auch noch, was die Voraussetzungen für eine Anwendung der Subtitution sind. Kann ich sie nur bei gerade Exponenten anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Do 14.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]4x^2+2x^2+3[/mm]
Ich nehme doch an, dass es um die Gleichung
[mm]4x^4+2x^2+3=0[/mm]
geht.
> Hallo ihr Lieben,
>
> zur morgigen Klausur wollte ich das Thema subtitution
> nochmal wiederholen, bleibe jedoch an o.g. Aufgabe
> hängen.
>
> Meine Rechnung sieht wie folgt aus
>
> [mm]4x^4+2x^2+3[/mm]
Du willst also die Gleichung
[mm]4x^2+2x^2+3=0[/mm]
lösen.
> [mm]x^2=u[/mm]
> [mm]4u^2+2u+3[/mm]
Du erhältst die Gl.
[mm]4u^2+2u+3=0[/mm]
>
> P-Q
>
> [mm]4u^2+2u+3[/mm] /4
> [mm]u^2[/mm] + 0,5 u +0,75u
>
> Hier erkenne ich schon, dass die Wurzel negativ sein wird,
Richtig !
> jedoch ist das Ergebnis als 1 und 4 angebeben.
Hä ? 1 und 4 sind mit Sicherheit keine Lösungen der Gleichung
[mm]4u^2+2u+3=0[/mm]
> Ich würde euch bitten, mir meinen Fehler aufzuzeigen.
Du hast keinen gemacht !
Die Gl. [mm]4u^2+2u+3=0[/mm] hat keine reelle Lösung , fertig.
Zurück zur ursprünglichen Gleichung
[mm]4x^4+2x^2+3=0[/mm]
Man sieht ohne jede Rechnung, dass diese Gl. keine reelle Lösung hat:
für x [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] x^2 \ge [/mm] 0 und [mm] x^4 \ge [/mm] 0, also ist
[mm]4x^4+2x^2+3 \ge4*0+2*0+3=3>0[/mm]
>
> Fraglich ist mir auch noch, was die Voraussetzungen für
> eine Anwendung der Subtitution sind. Kann ich sie nur bei
> gerade Exponenten anwenden?
Diese Substitution bietet sich an bei Gleichungen der Form
[mm] $ax^4+bx^2+c=0$
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort...
Hat hier jemand noch ein paar Übungsaufgaben im Stile der o.g.?
Wäre euch sehr verbunden.
Lg
Dome
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x^4-6x^2+8=0
[/mm]
[mm] x^4-4x^2+3=0 [/mm]
[mm] x^4+x^2-12=0
[/mm]
[mm] x^4+7x^2+12=0
[/mm]
[mm] 4x^4-6x^2+2=0
[/mm]
eine davon hat keine lösung, eine davon 2 Lösungen, die anderen 4
noch ne andere:
[mm] x^6+7x^3-8=0
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
Danke für deine Aufgaben.
Habe die erste Aufgabe wie folgt gerechnet.
[mm] x^4-6x^2+8
[/mm]
[mm] x^2=u
[/mm]
[mm] u^2-6u+8
[/mm]
3 +/- Wurzel [mm] (3^2)-8
[/mm]
u1= 4
u2=2
Muss ich jetzt noch weiteres beachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Domee!
Du hast nun zwei (korrekte) Lösungen für $u_$ . Gesucht sind jedoch $x_$-Werte; d.h. Du musst hier wieder resubstituieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
Und das tue ich durch das Wurzeln?
Also ziehe ich die Wurzel aus 4 und 2?
und schreibe dann
x1= 2
x2 = 1,41
?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Domee!
Fast richtig. Bedenke, dass z.B. die Gleichung [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 4$ zwei reelle Lösungen hat.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
+/- 4
Aber wie verschrifte ich das denn?
Aus -4 ist ja keine Wurzel ziehbar.
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Hallo Domee,
> +/- 4
>
> Aber wie verschrifte ich das denn?
Hier muss es doch heißen: [mm]x_{1,2}=\pm\wurzel{4}[/mm]
> Aus -4 ist ja keine Wurzel ziehbar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
Also reicht es, wenn ich schreibe
x1= +/- Wurzel 4
x2 = +/- Wurzel 2
?
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Hallo Domee,
> Also reicht es, wenn ich schreibe
>
> x1= +/- Wurzel 4
> x2 = +/- Wurzel 2
Hier muss es doch lauten:
[mm]x_{1}= -\wurzel{4}[/mm]
[mm]x_{2}= +\wurzel{4}[/mm]
>
> ?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
Super, danke für die zahlreichen Antworten.
Also kann ich schreiben
x1 = Wurzel 4
x2 = Wurzel -4
x3 = Wurzel 2
x4 = Wurzel -2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Domee!
Nein, das kannst Du nicht schreiben. Oben hattest Du doch selber angemerkt, dass man in [mm] $\IR$ [/mm] keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann.
Und was ergibt denn eigentlich [mm] $\wurzel{4}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 14.04.2011 | | Autor: | Domee |
Hallo Loddar,
die Wurzel aus 4 ist 2.
Kannst du mir das vielleicht einmal richtig aufschreiben?
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Hallo Domee,
zu lösen war [mm] x^4-6x^2+8=0
[/mm]
Die Substitution war [mm] u=x^2
[/mm]
Demnach:
[mm] u^2-6u+8=0
[/mm]
Mit p-q Formel wurden folgende Lösungen ermittelt:
[mm] u_{1}=4 [/mm] und [mm] u_{2}=2
[/mm]
Nun sind aber Lösungen von x gesucht, also ist:
[mm] x^2=4 [/mm] und [mm] x^2=2 [/mm] zu lösen.
Wurzel ziehen ergibt:
[mm] x_{1}=\pm\wurzel{4}=\pm\\2
[/mm]
[mm] x_{2}=\pm\wurzel{2}
[/mm]
Damit haben wir 4 Lösungen:
[mm] x_{1}=2
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
[mm] x_{3}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_{4}=-\wurzel{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Do 14.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]4x^4+2x^2+3[/mm]
>
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> zur morgigen Klausur wollte ich das Thema subtitution
> nochmal wiederholen, bleibe jedoch an o.g. Aufgabe
> hängen.
>
> Meine Rechnung sieht wie folgt aus
>
> [mm]4x^4+2x^2+3[/mm]
> [mm]x^2=u[/mm]
> [mm]4u^2+2u+3[/mm]
>
> P-Q
>
> [mm]4u^2+2u+3[/mm] /4
> [mm]u^2[/mm] + 0,5 u +0,75u
>
> Hier erkenne ich schon, dass die Wurzel negativ sein wird,
> jedoch ist das Ergebnis als 1 und 4 angebeben.
> Ich würde euch bitten, mir meinen Fehler aufzuzeigen.
>
> Fraglich ist mir auch noch, was die Voraussetzungen für
> eine Anwendung der Subtitution sind. Kann ich sie nur bei
> gerade Exponenten anwenden?
eine Substitution kann man natürlich generell (fast) weitesgehend so machen, wie man will. Du solltest Dir das Ziel vor Augen halten. Hier ist das Ziel, die pq-Formel anwenden zu können.
Fred hat schon gesagt, dass es sinnvoll ist, [mm] $z=x^2$ [/mm] bei Gleichungen der Form
[mm] $$ax^4+bx^2+c=0$$
[/mm]
zu substituieren. Das ist sinnvoll wegen
[mm] $$ax^4+bx^2+c=a(x^2)^2+bx^2+c\,.$$
[/mm]
Ein andere Gleichung etwa der Form
[mm] $$rx^{10}+sx^5+t=0$$
[/mm]
führt wegen
[mm] $$rx^{10}+sx^5+t=r(x^5)^2+sx^5+t$$
[/mm]
zu der Idee, sinnvollerweise [mm] $z=x^5$ [/mm] zu substituieren. Grundlage des ganzen ist hier die pq-Formel und Rechenregeln mit Potenzen, vor allem die Anwendung der Regel
[mm] $$x^{m*n}=(x^m)^n\;\;\;\;\big(=(x^n)^m\big)$$
[/mm]
zeigt Dir (bei derartigen Aufgaben meist), wie man "sinnvoll" substituieren kann.
Gruß,
Marcel
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