Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mo 30.06.2008 | | Autor: | bore |
| Aufgabe | | [mm] x^2y'=(1/4x^2)+y^2 [/mm] |
Substitutuion u=y/x -> y=xu -> y'=u+xu'
[mm] x^2(u+xu')=1/4x^2+(xu)^2
[/mm]
Stimmt dies soweit?
Nun muss ich durch Trennung der Variabeln Integrieren, stimmts?
[mm] \integral u+du/(u^2*u)=dx/(4x^2x^3)+x^2+2x
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 30.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich kann nicht sehen, wie du auf deine letze Formel kommst. ich seh auch nicht, wie die Substitution die Dgl verbessert und Trennun g der variablen möglich macht.
Dein eletzt Formel mit [mm] \integral [/mm] u ist unverständlich!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 30.06.2008 | | Autor: | bore |
| Aufgabe | | [mm] x^2y'=1/4x^2+y^2 [/mm] |
Ok, dachte es mir beinahe dass man nicht schlau darazs wird.
[mm] x^2y'=1/4x^2+y^2 [/mm]
Substitution: u=y/x; -> y=xu; -> y'=u+xu'=u+x(du/dx)
[mm] x^2(u+x(du/dx))=1/4x^2+y^2
[/mm]
y=xu
[mm] x^2(u+x(du/dx))=1/4x^2+(xu)^2
[/mm]
Ist das bis hierhin der Richtige Weg?
Nun folgt vereinfachen und integrieren richtig?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo bore!
Soweit sieht es gut aus ... ob dieser Weg aber wirklich zum Ziel führt, habe ich nun nicht kontrolliert.
Nichtsdestotrotz: try & error.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 01.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man die neue DGL so einfach vereinfachen und integrieren könnte wär das richtig.
Aber nur DGl der Form y'=f(y)*g(x) kann man durch Trennung der Variablen einfach lösen. und die erreichst du durch die Substitution nicht:
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Di 01.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die Substitution funktioniert hier doch (?).
[mm] $x^2*y'=\bruch{1}{4}*x^2+y^2$
[/mm]
[mm] $y'=\bruch{1}{4}+\bruch{y^2}{x^2}$
[/mm]
[mm] u(x)=\bruch{y}{x}
[/mm]
$y=u(x)*x$
$y'=u'(x)*x+u(x)$
[mm] $u'(x)*x+u(x)=\bruch{1}{4}+u^2(x)$
[/mm]
[mm] $u'*x=\bruch{4u^2-4u+1}{4}$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{4u^2-4u+1} \;dy =\bruch{1}{4}*\integral \bruch{1}{x}\;dx$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{4}*\integral \bruch{1}{(u-\bruch{1}{2})^2} \;dy =\bruch{1}{4}*\integral \bruch{1}{x}\;dx$
[/mm]
[mm] $-\bruch{1}{u-\bruch{1}{2}}=ln|x|+C$
[/mm]
[mm] $u=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{ln|x|+C}$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{x}{2}-\bruch{x}{ln|x|+C}$
[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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