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| Aufgabe | [mm]\integral{x*(3x^2-1)^2}dx[/mm]
Ermittle die Stammfunktion. |
Hallo!
Ich habe vermutlich eine Lösungsweg gefunden aber dieser erscheint mir so kompliziert, dass ich fragen möchte ob es so üblich ist, oder ob es noch einen anderen gibt.
Mein Ansatz wäre:
[mm]\integral{(3x^{2,5}-1x^{0,5})^2}dx[/mm]
Ist sowas überhaupt erlaubt?
Subst. [mm] (3x^{2,5}-1x^{0,5})=z
[/mm]
[mm]\integral{z^2}dz[/mm]
Stammfunktion: [mm]\bruch{z^3}{3}[/mm]
Resubst.
[mm] \bruch{1}{7,5x^{1,5}-0,5x^{-0,5}}+\bruch{(3x^{2,5}-1x^{0,5})^3}{3}
[/mm]
Wie gesagt ich glaube mein Vorschlag kann nur falsch sein. Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?Würde mich freuen! 
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo angelika!
Deine Umformung ist falsch. Das kannst Du durch Ausmultiplizieren schnell vergleichen.
Für die Stammfunktion (in der Ausgangsform) einfach den Inhalt der Klammer substituieren:
$$z \ := \ [mm] 3x^2-1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Danke für deinen Tipp!
Welche Umformung meinst du? Die 1. müsste doch laut meinem Taschenrechner richtig sein: x=3
[mm] (3*3^{2,5}-3^{0,5})^2=3*(3*3^2-1)^2 [/mm] = 2028
Aber ich glaube das muss man wirklich anders substituieren und zwar das:
[mm]\bruch{(3x^2-1)^3}{18}[/mm] herauskommt, oder?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> Hallo Loddar!
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> Danke für deinen Tipp!
>
> Welche Umformung meinst du? Die 1. müsste doch laut meinem
> Taschenrechner
besser laut Potenzgesetz [mm] $a^m\cdot{}b^m=(a\cdot{}b)^m$
[/mm]
> richtig sein: x=3
>
> [mm](3*3^{2,5}-3^{0,5})^2=3*(3*3^2-1)^2[/mm] = 2028
Deine Umformung oben stimmt schon, aber diese Begründung dafür nicht 
Wenn die Gleichheit auf beiden Seiten für eine Zahl gilt, gilt sie noch lange nicht für alle...
> Aber ich glaube das muss man wirklich anders substituieren
> und zwar das:
>
> [mm]\bruch{(3x^2-1)^3}{18}[/mm] herauskommt, oder?
Ja, das sollte herauskommen. Loddar hat doch den Ansatz für die Substitution schon hingeschrieben.
Substituiere im Ausgangsintegral [mm] $z=3x^2-1$
[/mm]
Dann ist [mm] $z'=\frac{dz}{dx}=6x$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{1}{6x} [/mm] \ dz$
Das nun mal alles im Ausgangsintegral ersetzen ...
LG
schachuzipus
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
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Hallo Angelika,
ich denke schon, dass deine erste Umformung stimmt.
Du hast [mm] $x=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2$ [/mm] geschrieben und es in die Klammer mit dem Quadrat reingezogen, das geht natürlich.
Allerdings bringt dich die anschließende Substitution nicht recht weiter, zumal da du vergessen hast, dass Differential $dx$ auch zu substituieren und in $dz$ auszudrücken.
Der kurze, schnelle und ökonomische Weg ist der nach Loddars Ansatz
LG
schachuzipus
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