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Ich habe mal eine Frage.
Und zwar ist die Formel [mm] x^4-6x^2+8 [/mm] gegeben. Durch substitution erhalte ich [mm] x^2-6x+8. [/mm] Wenn ich die PQ Formel anwende, erhalte ich als Nullstellen +-2 und +-4 (3+-1) das Ergebnis lautet allerdings +-2 und +- die Wurzel aus 2. Woher kommt das Ergebnis +- die Wurzel aus 2? Ich kann mir nicht vorstellen, dass ich was mit der PQ Formel falsch mache. Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Verwende bei der Substitution aber auch eine andere Variable: $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm] . Diese Substitution ergibt nun umgestellt: $x \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{z}$ [/mm] .
Mit der quadratischen Gleichung [mm] $z^2-6*z+8 [/mm] \ = \ 0$ erhalte ich nun die beiden Lösungen [mm] $z_1 [/mm] \ = \ 4$ und [mm] $z_2 [/mm] \ = \ 2$ .
Da uns aber die Lösungen für $x_$ interessieren, müssen wir dies noch in die o.g. Beziehung $x \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{z}$ [/mm] einsetzen.
Damit erhält man dann für $x_$ bis zu 4 Lösungen.
Gruß
Loddar
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Super alles klar. Und wie sieht es aus, wenn ich eine Funktion mit z.B. [mm] x^8+x^4+x^2-5 [/mm] habe?
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Hallo Dominic,
bei dieser Gleichung kannst du im Prinzip genauso substituieren mit [mm] z:=x^2
[/mm]
und sie damit auf eine Gleichung 4.Grades "runterschrauben"
[mm] z^4+z^2+z-5=0
[/mm]
Allerdings hilft dir das bei der Lösung nicht sonderlich viel, die Gleichung lässt sich leider nicht auf eine 2ten Grades bringen, so dass du die p/q-Formel oder quadratische Ergänzung o.ä. "einfachere" Lösungsverfahren leider nicht nehmen kannst.
Es gibt zwar die sog. Formel von Ferrari, mit der man solche biquadratischen Gleichungen lösen kann, aber die ist höllisch kompliziert.
Kannst ja mal danach googlen und dir das ansehen...
Ansonsten hilft nur ein Näherungsverfahren, wie zB das sog. Newtonverfahren, aber das ist für die Klassen 8-10 alles viel zu schwer 
Lieben Gruß
schachuzipus
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