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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Di 13.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Lösen Sie mit Hilfe einer geeigneten Substitution:
[mm] $y'=sin(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}$ [/mm] |
Substituiert habe ich [mm] $u=\frac{y}{x}$
[/mm]
damit erhalte ich:
$u'x+u=sin(u)+u$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $u'=\frac{sin(u)}{x}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\integral\frac{du}{dx}=\integral\frac{sin(u)}{x}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\integral\frac{du}{sin(u)}=\integral\frac{dx}{x}$
[/mm]
Da habe ich dann erneut mit $sin(u)=z$ substituiert und erhalte:
[mm] $\frac{1}{cos(u)}*\integral\frac{1}{z}dz=\integral\frac{dx}{x}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\frac{ln(sin(u))}{cos(u)}=ln(x)+c$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $sin(u)*e^{\frac{1}{cos(u)}}=c*x
[/mm]
Rücksubstituiert:
[mm] $sin(\frac{y}{x})*e^{\frac{1}{cos(\frac{y}{x})}}=c*x$
[/mm]
So weit korrekt? Könnte ich das so als Lösung stehen lassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Di 13.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie mit Hilfe einer geeigneten Substitution:
>
> [mm]y'=sin(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}[/mm]
> Substituiert habe ich [mm]u=\frac{y}{x}[/mm]
>
> damit erhalte ich:
>
> [mm]u'x+u=sin(u)+u[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]u'=\frac{sin(u)}{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\integral\frac{du}{dx}=\integral\frac{sin(u)}{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\integral\frac{du}{sin(u)}=\integral\frac{dx}{x}[/mm]
>
> Da habe ich dann erneut mit [mm]sin(u)=z[/mm] substituiert und
> erhalte:
>
> [mm]\frac{1}{cos(u)}*\integral\frac{1}{z}dz=\integral\frac{dx}{x}[/mm]
Das ist doch völliger Murks ! Was machst Du da eigentlich ?
FRED
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\frac{ln(sin(u))}{cos(u)}=ln(x)+c[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]$sin(u)*e^{\frac{1}{cos(u)}}=c*x[/mm]
>
> Rücksubstituiert:
>
> [mm]sin(\frac{y}{x})*e^{\frac{1}{cos(\frac{y}{x})}}=c*x[/mm]
>
> So weit korrekt? Könnte ich das so als Lösung stehen
> lassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Di 13.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Warum ist das Murks?
Wenn $sin(u)=z$ gilt, dann ist doch [mm] $z'=\frac{dz}{du}=cos(u)$ [/mm] und damit $dz=cos(u)*du$
Damit lautet doch das substituierte Integral:
[mm] $\frac{1}{cos(u)}*\integral\frac{1}{z}dz$ [/mm] oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Di 13.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist das Murks?
>
> Wenn [mm]sin(u)=z[/mm] gilt, dann ist doch [mm]z'=\frac{dz}{du}=cos(u)[/mm]
> und damit [mm]dz=cos(u)*du[/mm]
>
> Damit lautet doch das substituierte Integral:
>
> [mm]\frac{1}{cos(u)}*\integral\frac{1}{z}dz[/mm] oder nicht?
Nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 13.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Aber was denn dann? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Kannst Du mir da vielleicht auf die Sprünge helfen?
Okay scheinbar muss ich [mm] $\frac{1}{sin(u)}$ [/mm] als [mm] $\frac{1}{1+cos(u)}*\frac{1}{1+tan(\frac{u}{2})}$ [/mm] schreiben.
Dann ergibt sich
[mm] $ln(tan(\frac{u}{2}))=ln(x)+c$
[/mm]
[mm] $e^{ln(tan(\frac{u}{2}))}=e^{ln(x)}*e^{c}$
[/mm]
[mm] $tan(\frac{u}{2})=x*c$
[/mm]
[mm] $\frac{y}{2x}=arctan(x*c)$
[/mm]
$y=2x*arctan(x*c)$
Jetzt habe ich mal Wolfram Alpha befragt und scheinbar ist das immer noch falsch, denn es soll sein:
[mm] $y=2x*arctan(\frac{x}{c})$
[/mm]
Wie kommt das zu Stande?
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Hallo morph007,
> [mm]y=2x*arctan(x*c)[/mm]
>
> Jetzt habe ich mal Wolfram Alpha befragt und scheinbar ist
> das immer noch falsch, denn es soll sein:
>
> [mm]y=2x*arctan(\frac{x}{c})[/mm]
>
> Wie kommt das zu Stande?
Ob Du die Integrationskonstante ansetzt mit C oder [mm] \frac{1}{C} [/mm] ist egal.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Di 13.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Das u hängt von z ab, daher kannst Du es nicht vor das Integral ziehen.
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