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| Aufgabe | Lösen Sie folgende ST.L Randwertprobleme:
a.) [mm] y''+\mu*y=0 RB.:y'(\pi)=y'(2\pi)=0
[/mm]
b.) entwickeln Sie die Funktionen [mm] f(x)=1+cos^{2}x [/mm] f(x)=sinx [mm] x\in(\pi,2\pi) [/mm] nach den Eigenfunktionen von a |
Hallo
Also zuerst bestimme ich das char. Polynom
[mm] \lambda^{2}+\mu=0
[/mm]
[mm] \lambda=\pm\wurzel{-\mu}
[/mm]
Muss ich jetzt immer alle drei Fälle diskutieren also [mm] \mu<0, \mu>0, \mu=0?
[/mm]
Fall 1 für [mm] \mu>0
[/mm]
dann sind meine [mm] \lambda_{1,2}=\pm i\wurzel{\mu} [/mm] und ich bekomme den Ansatz für die homogene Gleichung
[mm] y_{H}=C_{1}cos\wurzel{\mu}x+C_{2}sin\wurzel{\mu}x
[/mm]
[mm] y_{H}'=-C_{1}\wurzel{\mu} sin\wurzel{\mu}x+C_{2}\wurzel{\mu}cos\wurzel{\mu}x
[/mm]
jetzt setz ich die RB ein
[mm] y(\pi)=-C_{1}\wurzel{\mu} sin\wurzel{\mu}\pi+C_{2}\wurzel{\mu}cos\wurzel{\mu}\pi
[/mm]
[mm] y(2\pi)=-C_{1}\wurzel{\mu} sin\wurzel{\mu}2\pi+C_{2}\wurzel{\mu}cos\wurzel{\mu}2\pi
[/mm]
Muss der Eigenwert immer eine ganze Zahl sein weil nur dann kann ich die Sinusterme streichen
[mm] y(\pi)=C_{2}\wurzel{\mu}cos\wurzel{\mu}\pi
[/mm]
[mm] y(2\pi)=C_{2}\wurzel{\mu}cos\wurzel{\mu}2\pi
[/mm]
was mach ich jetzt weiter.. der Ausdruck kann nur Null werden wenn [mm] C_{2}=0 [/mm] ist aber auch wieder nur wenn [mm] \wurzel{\mu} [/mm] eine ganze Zahl ergibt
Fall 2 für [mm] \mu<0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\mu} [/mm] was mich zu folgendem Ansatz bringt
[mm] y_{H}=C_{1}*e^{ \wurzel{\mu}x}+C_{2}*e^{ -\wurzel{\mu}x}
[/mm]
[mm] y'_{H}=C_{1} \wurzel{\mu}*e^{ \wurzel{\mu}x}-C_{2} \wurzel{\mu}*e^{ -\wurzel{\mu}x}
[/mm]
in der Lösung wird aber Substituiert für [mm] \pm \wurzel{\mu}=k [/mm] und der Ansatz [mm] y_{H}=C_{1}*e^{ kx}+C_{2}*x*e^{ kx} [/mm] wieso darf ich das machen? Funktioniert das auch so wie ich das rechne?
also weiter jetzt
ich drücke mir [mm] C_{1} [/mm] aus und setzte es in die 2te RB ein
zu [mm] C_{2}\wurzel{\mu}-C_{2}\wurzel{\mu}*e^{ -\wurzel{\mu}2\pi}=0
[/mm]
[mm] C_{2}(1-e^{ -\wurzel{\mu}2\pi})=0
[/mm]
das stimmt nur bei [mm] C_{2}=0 [/mm] oder [mm] \mu=0
[/mm]
Fall 3 [mm] \mu=0
[/mm]
[mm] y_{H}=C_{1}+C_{2}x
[/mm]
[mm] y_{H}'=C_{2}
[/mm]
RB einsetzen ergibt [mm] C_{2}=0 [/mm] wie jetzt weiter...
Bei Punkt b hab ich absolut keinen Plan was man machen muss um nach Eigenfunktionen zu entwickeln muss ich da einfach nur die Fourierreihe der Eigenfunktionen bilden ??????
Kann mir bitte jemand das Prinzip zum Lösen von solchen Beispielen
erklären
Danke
lg Stevo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 05.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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