Stützstellen der Gaußquadratur < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die optimalen Stützstellen bei der Gauß-Quadratur sind die Nullstellen orthogonaler Polynome... |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir das vielleicht jemand verständlich erklären (also warum das so ist?). Habe zwar jede Menge Theorie dazu, aber ich kann irgendwie den zusammenhang nicht finden.
danke schonmal!
gruß,
Mark
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Hallo Mark,
also ich musste das auch gerade lernen, ich helfe da einer Freundin etwas bei Prama, deswegen versuch ich mal, es
zu erklären.
Du willst ja die Stützstellen und die Koeffizienten bei der Gauss-Quadratur so wählen, dass für Polynome mit möglichst
hohem Grad exakt integriert wird.
Zu dem durch das Integral gegebenen Skalarprodukt kannst Du nun normierte paarweise orthogonale Polynome [mm] p_j [/mm] (vom Grad j)
durch das Schmidt'sche OIrthogonalisierungsverfahren eindeutig bestimmen.
Für diese folgt aus der Normierung, dass zu n gegebenen Stützstellen [mm] t_1<\ldots [/mm] < [mm] t_n [/mm] die Matrix mit den Einträgen [mm] a_{ij}=p_{i-1}(t_j)
[/mm]
nicht-singulär ist.
Hieraus folgt insbesondere, dass für die Nullstellen [mm] x_1,\ldots x_n [/mm] von [mm] p_n [/mm] die Koeffizienten [mm] w_i, [/mm] die den Gleichungen
[mm] \sum_{i=1}^np_k(x_i)w_i=\begin{cases} (p_0,p_0), & falls\: k=0\\ 0 & falls\: k=1,\ldots n\end{cases}
[/mm]
die Integrationsaufgabe für alle Polynome vom Grad kleiner/gleich 2n-1 lösen.
Viele Grüsse,
just-math
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