Strukturen mit abzähl. Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Di 15.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige: [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] hat eine abzählbare Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] |
Also, erinnere ich mich mal zurück an die hier wichtige Definition:
[mm] $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{O}$ [/mm] heißt Basis für die Topologie [mm] $\mathcal{O},$ [/mm] falls für alle [mm] $U\in \mathcal{O}$ [/mm] ein Mengensystem [mm] $\mathcal{U}\subseteq [/mm] B$ existiert, mit [mm] $\cup_{Y\in \mathcal{U}} [/mm] Y = U. $
Für den Beweis habe ich so das Gefühl, dass ich die Basis [mm] $\mathcal{B}= \{(a,b) \in \mathbb{Q}^2 \}$ [/mm] verwenden könnte und dann versuche eine bijektive Abbildung auf (zumindest eine Teilmenge von) [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] zu finden.
Ich bin aber leider auf der Leitung und kann mir nicht vorstellen, wie sich hier eine Bijektion finden lassen soll... :/
Kann mir da jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige: [mm]\mathbb{R}[/mm] hat eine abzählbare Basis
> [mm]\mathcal{B}[/mm]
> Also, erinnere ich mich mal zurück an die hier wichtige
> Definition:
> [mm]\mathcal{B}\subseteq \mathcal{O}[/mm] heißt Basis für die
> Topologie [mm]\mathcal{O},[/mm] falls für alle [mm]U\in \mathcal{O}[/mm] ein
> Mengensystem [mm]\mathcal{U}\subseteq B[/mm] existiert, mit
> [mm]\cup_{Y\in \mathcal{U}} Y = U.[/mm]
>
> Für den Beweis habe ich so das Gefühl, dass ich die Basis
> [mm]\mathcal{B}= \{(a,b) \in \mathbb{Q}^2 \}[/mm] verwenden könnte
Gute Idee, aber Du hast es falsch aufgeschrieben. Du meinst wohl:
[mm]\mathcal{B}= \{(a,b): a
Das ist eine Basis der üblichen Topologie auf [mm] \IR.
[/mm]
> und dann versuche eine bijektive Abbildung auf (zumindest
> eine Teilmenge von) [mm]\mathbb{N}[/mm] zu finden.
>
> Ich bin aber leider auf der Leitung und kann mir nicht
> vorstellen, wie sich hier eine Bijektion finden lassen
> soll... :/
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Du willst also zeigen, dass obiges [mm] \mathcal{B} [/mm] abzählbar ist.
Das kannst Du so machen:
Für festes q [mm] \in \IQ [/mm] setze
[mm] \mathcal{B}_q= \{(q,r):r>q , r \in \IQ\}
[/mm]
Da die Menge der rationalen Zahlen, welche >q sind, abzählbar ist, ist [mm] \mathcal{B}_q [/mm] abzählbar.
Weiter ist
[mm] \mathcal{B}= \bigcup_{q \in \IQ}^{} \mathcal{B}_q
[/mm]
abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen. Damit ist [mm] \mathcal{B} [/mm] abzählbar.
FRED
>
>
|
|
|
|
