Stromdichte im gekreuzten Feld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass in einem gekreuzten Feld [mm] \overrightarrow{E}= (E_{x},E_{y},E_{z}) [/mm] und [mm] \overrightarrow{B}= [/mm] (0,0,B) sich folgende
stationäre Stromdichte einstellt:
[mm] \overrightarrow{j}= \bruch{\sigma}{1+(\bruch{eB*t}{m})²}\pmat{ 1 & -\bruch{eB*t}{m}& 0 \\ \bruch{eB*t}{m} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+(\bruch{eB*t}{m})²} \vektor{E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} }
[/mm]
mit [mm] \sigma=\bruch{ne²t}{m} [/mm] (elektr. Leitfähigkeit) und t=tao (mittlere Stoßzeit der Elektronen) |
Stationäre heisst doch, dass die Antreibende Kraft (E-Feld mit B-Feld) gleich der Abbremsenden Kraft (durch Stöße) ist.
Also [mm] -e(\overrightarrow{E} [/mm] + [mm] \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}) [/mm] = [mm] \bruch{m}{t} \overrightarrow{v}
[/mm]
mit v= Driftgeschwindigkeit der Elektronen.
löse ich hier nach dem linken [mm] \overrightarrow{v} [/mm] auf erhalte ich mit Ausrechnen des Kreuzprodukts:
[mm] \overrightarrow{v}=\vektor{E_{x}+v_{y}B \\ E_{y}-v_{x}B \\ E_{z} } \bruch{-et}{m}
[/mm]
so dass [mm] \overrightarrow{j}=-ne\overrightarrow{v}=-ne \vektor{E_{x}+v_{y}B \\ E_{y}-v_{x}B \\ E_{z} } \bruch{-et}{m}= \sigma \vektor{E_{x}+v_{y}B \\ E_{y}-v_{x}B \\ E_{z} }
[/mm]
Die zu zeigende Formel
[mm] \overrightarrow{j}= \bruch{\sigma}{1+(\bruch{eB*t}{m})²}\pmat{ 1 & -\bruch{eB*t}{m}& 0 \\ \bruch{eB*t}{m} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+(\bruch{eB*t}{m})²} \vektor{E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} } [/mm] wird durch Ausrechnen zu:
[mm] \overrightarrow{j}=\sigma\vektor{\bruch{E_{x}- E_{y}\bruch{eB*t}{m}}{1 + (\bruch{eB*t}{m})²} \\ \bruch{E_{x}\bruch{eB*t}{m}- E_{y}}{1 + (\bruch{eB*t}{m})²} \\ E_{z} }
[/mm]
setze ich jetzt die Komponenten von [mm] \overrightarrow{j} [/mm] aus dieser Umformung mit der aus der Zeile, die mit "so dass" anfängt, gleich und kürze sigma raus, erhalte ich:
[mm] (j_{1}) E_{x}+v_{y}B [/mm] = [mm] \bruch{E_{x}- E_{y}\bruch{eB*t}{m}}{1 + (\bruch{eB*t}{m})²}
[/mm]
[mm] (j_{2}) E_{y}-v_{x}B [/mm] = [mm] \bruch{E_{x}\bruch{eB*t}{m}- E_{y}}{1 + (\bruch{eB*t}{m})²}
[/mm]
[mm] (j_{3}) E_{z} [/mm] = [mm] E_{z}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter, wie kann ich die Gleichheit der ersten beiden Gleichungen zeigen.
Gibt es eine Möglichkeit die komponenten von [mm] \overrightarrow{j} [/mm] zu umschreiben?
Danke für Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 07.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Zeigen Sie, dass in einem gekreuzten Feld [mm]\overrightarrow{E}= (E_{x},E_{y},E_{z})[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{B}=[/mm] (0,0,B) sich folgende
> stationäre Stromdichte einstellt:
> [mm]\overrightarrow{j}= \bruch{\sigma}{1+(\bruch{eB*t}{m})²}\pmat{ 1 & -\bruch{eB*t}{m}& 0 \\ \bruch{eB*t}{m} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+(\bruch{eB*t}{m})²} \vektor{E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} }[/mm]
>
> mit [mm]\sigma=\bruch{ne²t}{m}[/mm] (elektr. Leitfähigkeit) und t=tao
> (mittlere Stoßzeit der Elektronen)
> Stationäre heisst doch, dass die Antreibende Kraft (E-Feld
> mit B-Feld) gleich der Abbremsenden Kraft (durch Stöße)
> ist.
> Also [mm]-e(\overrightarrow{E}[/mm] + [mm]\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})=\bruch{m}{t} \overrightarrow{v}[/mm]
> mit v= Driftgeschwindigkeit der Elektronen.
>
> löse ich hier nach dem linken [mm]\overrightarrow{v}[/mm] auf
> erhalte ich mit Ausrechnen des Kreuzprodukts:
> [mm]\overrightarrow{v}= \vektor{E_{x}+v_{y}B \\ E_{y}-v_{x}B \\ E_{z} } \bruch{-et}{m}[/mm]
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten [mm] $v_x$, $v_y$, $v_z$. $v_z$ [/mm] ist trivial, dann bleiben 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten. Löse sie!
Viele Grüße
Rainer
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