Streng monoton steigend < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | | Sei I ein nichtleeres Intervall und [mm] f:I\to [/mm] R streng monoton steigend. Ist [mm] f^{-1} [/mm] auch streng monoton steigend? |
Hoi.
Wir hatten das damals so gelöst
Sei [mm] $y_1,y_2 \in [/mm] I$ mit [mm] $y_1< y_2$
[/mm]
Annahme: [mm] $f^{-1} (y_1) \ge f^{-1}(y_2)$
[/mm]
[mm] $f(f^{-1}(y_1)) \ge f(f^{-1}(y_2))$ [/mm] Hieraus folgt ein Widerspruch
[mm] $\Rightarrow f^{-1}(y_1) [/mm] < [mm] f^{-1}(y_2)$
[/mm]
Daraus haben wir wohl gefolgert, dass die Umkehrfunktion dann auch streng monoton steigend ist. Mir scheint die Lösung aber [mm] fehlerhaft?$f^{-1} (y_1)$ [/mm] = [mm] x_1. [/mm] Also ist auch [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] und es gilt $ [mm] f(x_1) \ge f(x_2)$ [/mm] Und weil die Ursprungsfunktion streng monoton steigend war is das hier ein widerspruch?
Gruß, Wehm
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> Sei I ein nichtleeres Intervall und [mm]f:I\to[/mm] R streng monoton
> steigend. Ist [mm]f^{-1}[/mm] auch streng monoton steigend?
> Hoi.
>
> Wir hatten das damals so gelöst
> Sei [mm]y_1,y_2 \in I[/mm] mit [mm]y_1< y_2[/mm]
> Annahme: [mm]f^{-1} (y_1) \ge f^{-1}(y_2)[/mm]
>
> [mm]f(f^{-1}(y_1)) \ge f(f^{-1}(y_2))[/mm] Hieraus folgt ein
> Widerspruch
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)[/mm]
>
> Daraus haben wir wohl gefolgert, dass die Umkehrfunktion
> dann auch streng monoton steigend ist. Mir scheint die
> Lösung aber fehlerhaft?[mm]f^{-1} (y_1)[/mm] = [mm]x_1.[/mm] Also ist auch
> [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2[/mm] und es gilt [mm]f(x_1) \ge f(x_2)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
f ist doch nach Vor. streng monoton steigend, also gilt mit [mm] x_1
Der Widerspruch in der Lösung folgt in der vorletzten Zeile:
[mm] f(f^{-1}(y_1))\ge f(f^{-1}(y_2))
[/mm]
[mm] \gdw id(y_1)\ge id(y_2) \gdw y_1\ge y_2
[/mm]
Das widerspricht der Wahl von [mm] $y_1 [/mm] und [mm] y_2$ (y_1
Damit ist die Annahme [mm] f^{-1}(y_1)\ge f^{-1}(y_2) [/mm] falsch, es muss also gelten [mm] f^{-1}(y_1)< f^{-1}(y_2)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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