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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Bei einem Spiel liegt eine bestimmte Anzahl Streichhölzer auf einem Tisch. Zwei Spieler nehmen nun abwechselnd beliebig viele, aber mindestens eines der Streichhölzer weg. Die Menge an Streichhölzern, die genommen wird, ist nur durch die Spielregeln begrenzt. Wer das letzte Streichholz nimmt, verliert.
a) Wer gewinnt, wenn man pro Zug maximal 6 Streichhölzer nehmen darf?
b) Wer gewinnt, wenn man pro Zug maximal die Hälfte der noch vorhandenen Streichhölzer nehmen darf? (abgesehen von der Situation, dass nur noch ein Streichholz übrig ist-dieses muss natürlich genommen werden)
c) Sie dürfen anfangen, wissen aber nicht wieviele Streichhölzer auf den Tisch gelegt werden. Welche Spielregel wählen Sie? |
Hallo,
könnt ihr mir bei obiger Aufgabe helfen? Die Strategie des Spiels kenne ich, da ich es schon einmal gespielt habe. Man muss immer das Doppelte an Streichhölzern wegnehmen, was der Gegener weggenommen hat. Oder? Aber trotzdem kann ich die Aufgaben nicht lösen. Wie gehe ich da ran?
Vielen Dank!
Liebe Grüße!
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Hallo Leni,
> könnt ihr mir bei obiger Aufgabe helfen? Die Strategie des
> Spiels kenne ich, da ich es schon einmal gespielt habe. Man
> muss immer das Doppelte an Streichhölzern wegnehmen, was
> der Gegener weggenommen hat. Oder?
Das würde bei beiden Spielregeln nicht zuverlässig funktionieren, weil Du nämlich u.U. gegen die Regel verstoßen müsstest, um Deine Taktik zu fahren.
Es sind durchaus verschiedene Spiele.
a)
Geh rückwärts vor. Nehmen wir an, es liegen 7 Streichhölzer auf dem Tisch, und Spieler A ist dran. Spieler A nimmt 6 davon, und B hat verloren. Darum wird B vorher vermeiden, gerade 7 Str. zurückzulassen. Da A aber mindestens ein Streichholz nehmen muss, wird B im Zug vorher anstreben, genau 8 Str. liegen zu lassen. Dann gewinnt er zuverlässig. Darum darf A im Zug vorher nicht 9-14 Str. übrig lassen, sondern wird genau 15 anstreben...
Allgemeiner: wer so ziehen kann, dass er 7n+1 Str. in der Mitte hinterlässt, gewinnt.
Darum hängt es von der Anfangszahl der Hölzchen ab, wer (bei idealer Strategie beider Spieler) gewinnt. Siehst Du, warum?
b)
Genauso vorgehen, also rückwärts. Wer nur noch ein Hölzchen vorfindet, verliert. Also dürfen vorher nicht zwei auf dem Tisch liegen, sondern mindestens (und, wie sich zeigt, tatsächlich genau) drei. Und davor...
Wie ist hier die ideale Strategie? Welches ist der zwingende erste Zug, wenn die Zahl der Hölzchen bekannt ist?
c)
Wenn Du a und b gelöst hast, kannst Du c relativ leicht beantworten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 So 10.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort.
Bei a) ist es doch dann so:
- falls die Anfangszahl der Streichhölzer (7n+1) ist, der gewinnt der nicht beginnt und
- falls die Anfangszahl (7n+1) + {1,2,3,4,5,6} ist, der gewinnt, der anfängt, oder?
Bei b) steig ich noch nicht so ganz dahinter. Wenn jetzt z.B. A gewinnen will, sollte er 3, 7, 15 ... Streichhölzer übrig lassen. Aber ich komme hier irgendwie auf keine allgemeine Formel. Kannst du mir da weiterhelfen?
Vielen lieben Dank schon einmal!
LG
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Hallo Leni,
zu a): Genau, so ist es!
zu b): Die Zahlenfolge ist 1,3,7,15,31,63,127,255... und recht eng mit den Zweierpotenzen verknüpft. 
Ach, übrigens: zu c) gibt es keine wirklich schöne Antwort, aber man kann für eine der beiden Regeln argumentieren.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 10.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Ok, cool, vielen Dank! Also bei b) müsste es dann so sein:
- falls die Anfangszahl der Streichhölzer [mm] 2^{n}-1 [/mm] ist, verliert der, der beginnt
- falls sie [mm] (2^{n}-1) [/mm] + [mm] \{1,...,2^{n}-1\} [/mm] ist, gewinnt der, der beginnt
c) find ich ziemlich schwierig, weil bei Strategie a) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich gewinne wenn ich anfange immer konstant 6/7 (~ 85%). Bei Strategie b)ist diese Wahrscheinlichkeit aber nicht immer konstant, sondern steigert sich mit wachsendem n. Hier ist es also so, dass ich, wenn es ganz viele Streichhölzer sind, eine höhere Wahrscheinlichkeit habe, als wenn es weniger sind. Sehe ich das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst sagen, ab welcher Mindestzahl welches Verfahren besser ist.
Wenn man dir also vorhersagt, die Zahl wird per Zufall [mm] \le [/mm] 10 oder [mm] \le [/mm] 1000 gewaehlt kannst du entscheiden.
Gruss leduart
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Hallo nochmal,
zu c kann man verschieden argumentieren. Mit der Betrachtung der Wahrscheinlichkeiten hast Du Recht, bedenke aber auch leduarts Hinweis dazu.
Man müsste nun aber wissen, wie die Einhaltung der Regel geprüft wird. Wenn beide Spieler "mitzählen", dann hilft Dir a) nicht weiter, solange der Haufen groß ist - es genügt dann ja, die im betreffenden Zug entnommenen Hölzchen zu zählen.
Bei Regel b) mag das anders sein. Wenn man höchstens die Hälfte nehmen darf, muss man ja womöglich bei jedem Spielzug alle Hölzchen zählen (oder nach der ersten Zählung ordentlich Buch führen). Vielleicht aber werden auch die liegenbleibenden und die entnommenen Hölzchen nur mit einer Waage miteinander verglichen? Oder von einem Schiedsrichter hinter einer Stellwand gezählt?
Im "Normalfall" würde ich erwarten, dass die Spieler gegenseitig überwachen, dass die Regeln eingehalten werden und deswegen b) nehmen - eben weil ich im ersten Zug nicht ohne Zählung auskomme.
Grüße
reverend
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