Stoppen von stetigen Martingal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 27.07.2012 | | Autor: | kalor |
Hi
Ich habe eine Frage zu stetigen Martingale, eigentlich reicht bereits rechtsseitig stetig, aber wir können annehmen, dass das Martingal $M$ stetig ist (Was folgt, sei immer von einem kontinuierlichen Martingal die Rede, NICHT einem diskreten). Nun gibt es einen Satz, Optional sampling theorem von Doob, der sagt: Wenn $M$ rechtsseitig stetig ist und ich zwei Stoppzeiten habe, [mm] $\sigma\le\tau$. [/mm] Wenn $M$ gleichmässig integrierbar ist oder [mm] $\tau$ [/mm] beschränkt, dann gilt
[mm] $$E[M_\tau|\mathcal{F}_\sigma]=M_\tau$$
[/mm]
Nun verstehe ich nicht ganz den Unterschied zu folgendem Satz:
Wenn $M$ ein rechtseitigstetiges Martingal ist und [mm] $\tau$ [/mm] eine Stoppzeit, dann ist auch [mm] $M^\tau:=M_{t\wedge \tau}$ [/mm] ein martingal, wobei [mm] $\wedge$ [/mm] die Minimumsfunktion ist.
Was genau ist der Unterschied zwischen diesen Sätzen?
Wenn wir nun ein lokales Martingal betrachten, d.h. es existiert eine Folge von Stoppzeiten die gegen [mm] $+\infty$ [/mm] konvergieren P-f.s. so dass [mm] $M^{\tau_n}$ [/mm] ein Martingal ist. Sei [mm] $\rho$ [/mm] eine weitere Stoppzeit. Welchen der beiden oben genannten Sätze muss ich verwenden um zu zeigen, dass [mm] $M^\tau$ [/mm] (gestoppte lokale Martingal) wieder ein lokales martingal ist?
Danke für die Hilfe!!!
KaloR
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Hiho,
> Was genau ist der Unterschied zwischen diesen Sätzen?
Der eine macht eine Aussage über eine Zufallsvariable, der andere über einen stochastischen Prozess.
> Welchen der beiden oben genannten Sätze muss ich verwenden um zu zeigen, dass [mm]M^\tau[/mm] (gestoppte lokale Martingal) wieder ein lokales martingal ist?
Du meinst sicher [mm] $M^\rho$.
[/mm]
Den zweiten.
MFG,
Gono.
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