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| Aufgabe | Bestimmen Sie das folgende Integral:
[mm] \iint_{S}{(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS}
[/mm]
wobei [mm] A=(4x^2+y-3)\mathbf{i}+(5xy)\mathbf{j}+(xz+z^2)\mathbf{k} [/mm] und S die Oberfläche des Paraboloiden [mm] z=1-(x^2+y^2) [/mm] for [mm] z\geq [/mm] 0 ist. |
Hallo,
das schreit ja förmlich nach dem Stokesschen Integralsatz, also ist:
[mm] \iint_{S}{(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS}=\int_{C}{\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}}.
[/mm]
Ich integriere also nur noch über dem Einheitskreis in der x,y-Ebene. Richtig ?
Dann parametrisiere ich folgendermaßen:
[mm] x=\cos(t), y=\sin(t), [/mm] z=0, [mm] 0\leq [/mm] t [mm] \leq 2\pi
[/mm]
Das Integral wird dann also zu
[mm] \int_{0}^{2\pi}{(A_{1})*\dot{x}+(A_{2})\cdot\dot{y}\ dt}=\int_{0}^{2\pi}{\cos^{2}(t)\sin(t)\ dt}-\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2}(t)\ dt}+3\int_{0}^{2\pi}{\sin(t)\ dt}=-\pi
[/mm]
Stimmt das soweit ?
Bin ich damit durch, oder habe ich noch einen Teil vergessen ? Fehlt noch ein Teil der Oberfläche über der ich nicht integriert habe ?
LG
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Hallo MontBlanc,
> Bestimmen Sie das folgende Integral:
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> [mm]\iint_{S}{(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS}[/mm]
>
> wobei
> [mm]A=(4x^2+y-3)\mathbf{i}+(5xy)\mathbf{j}+(xz+z^2)\mathbf{k}[/mm]
> und S die Oberfläche des Paraboloiden [mm]z=1-(x^2+y^2)[/mm] for
> [mm]z\geq[/mm] 0 ist.
> Hallo,
>
> das schreit ja förmlich nach dem Stokesschen Integralsatz,
> also ist:
>
> [mm]\iint_{S}{(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS}=\int_{C}{\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}}.[/mm]
>
> Ich integriere also nur noch über dem Einheitskreis in der
> x,y-Ebene. Richtig ?
Ja.
>
> Dann parametrisiere ich folgendermaßen:
>
> [mm]x=\cos(t), y=\sin(t),[/mm] z=0, [mm]0\leq[/mm] t [mm]\leq 2\pi[/mm]
>
> Das Integral wird dann also zu
>
> [mm]\int_{0}^{2\pi}{(A_{1})*\dot{x}+(A_{2})\cdot\dot{y}\ dt}=\int_{0}^{2\pi}{\cos^{2}(t)\sin(t)\ dt}-\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2}(t)\ dt}+3\int_{0}^{2\pi}{\sin(t)\ dt}=-\pi[/mm]
>
> Stimmt das soweit ?
Ja, stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bin ich damit durch, oder habe ich noch einen Teil
> vergessen ? Fehlt noch ein Teil der Oberfläche über der
> ich nicht integriert habe ?
Damit bist Du durch, da das geforderte Integral berechnet wurde.
Wenn das Integral
[mm]\iint_{S}{(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS}[/mm]
ohne Zuhilfenahme des Stokeschen Integralsatzes
berechnet wird, dann kommt dasselbe heraus.
>
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mo 06.12.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi MathePower,
danke für die Antwort !
LG
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